Flessi con parametro

Una funzione è convessa se il segmento che congiunge 2 punti qualsiasi del suo grafico giace sopra il grafico stesso o coincide con una sua parte. Una funzione è concava se il segmento che unisce qualsiasi 2 punti del grafico sta sotto di esso o coincide con una sua parte.

y = 1/12·k·x^4 - 2/3·x^3 + 1/2·k·x^2

si deve calcolare la derivata seconda:

y' = k·x^3/3 - 2·x^2 + k·x

y'' = k·x^2 - 4·x + k

Con riferimento all'equazione associata: 

k·x^2 - 4·x + k = 0

devono essere verificate due condizioni:

{Δ/4 ≤ 0

{a < 0

avendo definito:

a = k

b = -4

c = k

quindi si traduce il tutto nel sistema:

{(-2)^2 - k^2 ≤ 0

{k <0

---------------------------

{k ≤ -2 ∨ k ≥ 2

{k <0

Quindi soluzione finale: [ k ≤ -2]

Preliminari

$ y(x) = \frac{1}{12}kx^4-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}kx^2 $

$ y'(x) =\frac{1}{3}kx^3-2x^2+kx $

y"$(x) = kx^2-4x+k $

Condizioni.

Concava in tutto ℝ, significa che la derivata seconda non ammetterà soluzioni  distinte e che i valori della derivata seconda (cioè il valore di k) dovranno essere non positivo (ovvero negativo o nullo in un numero numerabile di punti) (concavità).

• k < 0
• il discriminante del trinomio (derivata seconda) dovrà essere non positivo (ovvero negativo o nullo in un numero numerabile di punti)

Δ ≤ 0

$ 16-4k^2 ≤ 0 $

$ k^2 ≤ 4 \; ⇒ \; k ≤ - 2  \; \lor \; k ≥ 2$

La condizione k < 0 fa si che le soluzioni siano

k ≤ - 2

nota. Vi sono funzioni esempio  y = -|x³| che sono concave in tutto ℝ e che hanno derivata seconda negativa salvo in qualche punto, nel nostro esempio per x=0. E' stato così necessario considerare anche questi casi per far comparire il minore eguale nel risultato.