Flessi

$ y(x) = \sqrt[3] {(2x-1)^2} -  \sqrt[3] {x^2} $

Passiamo alla derivata seconda

y"$(x) = \frac{2(\sqrt[3] {(2x-1)^4} - 4 \sqrt[3] {x^4}}{9 \sqrt[3] {x^4}\sqrt[3] {(2x-1)^4}} $

Poniamo la derivata seconda eguale a zero

y"$(x) = 0 $

$ \sqrt[3] {(2x-1)^4} = 4 \sqrt[3] {x^4} $

$ (2x-1)^4 = 64 x^4 $

$ 16x^4-32x^3+24x^2-8x+1 = 64x^4 $

$ 48x^4+32x^3-24x^2+8x-1 = 0$

San Wolframio pensaci tu. 

Le cui due soluzioni sono:

1. $x = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = α $
2. $x = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = β $

Studio del segno della derivata seconda

_______α_______β_______

----------0+++++0---------- y"(x)

....∩......≠....∪.....≠.....∩..... y(x)

Conclusioni.

1. per x = -1/2 - √2/2 si ha un flesso (derivata seconda nulla e cambio di concavità)
2. per x = -1/2 + √2/2 si ha un flesso (derivata seconda nulla e cambio di concavità)
3. in (-1/2 - √2/2, -1/2 + √2/2) la funzione è convessa
4. in (-∞, -1/2 - √2/2) e in (-1/2 + √2/2, +∞) la funzione è concava.