Flessi

$ y(x) =  ln|\sqrt[3]{x^2}-1| $ 

• Dominio y(x)= ℝ\{±1}. Infatti ³√x² ≠ 1  ⇒ x² ≠ 1  ⇒ x ≠  ± 1  

y"$(x) =  \frac{2-6\sqrt[3]{x^2}}{9(\sqrt[3]{x^2}-1)^2 \, \sqrt[3]{x^4}} $ 

• Zeri della derivata seconda. $ x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{9}; x_2 = \frac{\sqrt{3}}{9}; $

Infatti, dalla $6\sqrt[3]{x^2} = 2 \; \implies \; x^2 = \frac{1}{27}$ 

Studio del segno della derivata seconda. 

_______-√3/9________√3/9_____

------------0+++++++++0---------   2-6³√x²

+++++++++++X++++++++++   denominatore

-----------0++++X++++0---------    y"(x)

  .....∩.....≠...∪...X....∪...≠....∩....   y(x)

Legenda

≠ punto di flesso

∩   concava

∪  convessa

X  fuori Dominio

Conclusioni.

1. La funzione y(x) è convessa in (-√3/9, 0) e in (0, √3/9)
2. La funzione y(x) è concava in (-∞, -√3/9) e in (√3/9, +∞)
3. Per x = -√3/9   si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
4. Per x = √3/9  si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)