Flessi

$ y = -1+cos^2x-2sinx $

determiniamo la derivata seconda

y"$(x) = 2(sin^2x+sinx-1) $

vediamo dove si annulla.

y"$(x) = 0 \; ⇒ \; sin^2x+sinx-1 = 0;$ poniamo $ t = sin(x) \; ⇒ \; 2t^2+t-1 = 0 $ che ammette come soluzioni

1. $ t_1 = \frac{1}{2}  \; ⇒ \; sin x = \frac{1}{2}  \; ⇒ \; x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $
2. $ t_2 = \frac{1}{2}  \; ⇒ \; sin x = \frac{1}{2}  \; ⇒ \; x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $
3. $ t_3 = -1  \; ⇒ \; sin x = -1  \; ⇒ \; x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi $

con $k \in \mathbb{Z}$

solita griglia dei segni

0_____π/6_______5π/6_____3/2π_____2π)

--------0+++++++0-----------0-----------  y"(x)

...∩.....≠.......∪......≠......∩.....=.......∩.....   y(x)

Legenda

∩ ≡ concava

∪ ≡ convessa

≠ ≡ flesso

= ≡ punto estremante

Conclusioni:

1. $ x = \frac{\pi}{6} $ flesso (la derivata seconda si annulla e cambia la concavità)
2. $ x = \frac{5\pi}{6} $ flesso (la derivata seconda si annulla e cambia la concavità)
3. $ x = \frac{3\pi}{2} $ punto estremante (la derivata seconda si annulla ma non cambia la concavità)
4. La funzione y(x) è convessa in (π/6 + 2kπ, 5π/6+2kπ)