Flessi

y = e^(- 2·x^2)

y'= - 4·x·e^(- 2·x^2)

y''=16·x^2·e^(- 2·x^2) - 4·e^(- 2·x^2)

y''=4·e^(- 2·x^2)·(2·x + 1)·(2·x - 1)

Funzione tipo" campana di Gauss"

Studio concavità:

4·e^(- 2·x^2)·(2·x + 1)·(2·x - 1) > 0

per x < - 1/2 ∨ x > 1/2

funzione con concavità verso l'alto

4·e^(- 2·x^2)·(2·x + 1)·(2·x - 1) < 0

per - 1/2 < x < 1/2

funzione con concavità verso il basso

4·e^(- 2·x^2)·(2·x + 1)·(2·x - 1) = 0

per x = - 1/2 ∨ x = 1/2

punti di flesso

$ y(x) = e^{-2x^2} $ 

• Dominio = ℝ

y"$(x) = 4e^{-2x^2}(4x^2-1) $ 

Studio del segno della derivata seconda. 

______-1/2________1/2_______

++++++0-------------0++++++   4x^2-1

++++++0-------------0++++++   y"(x)

......∪.....≠.......∩......≠......∪......     y(x)

Legenda

≠ punto di flesso

∩   concava

∪  convessa

Conclusioni.

1. La funzione y(x) è convessa in  (-∞, -1/2) e in (1/2, +∞)
2. La funzione y(x) è concava in (-1/2, 1/2) 
3. Per x = -1/2 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)
4. Per x = 1/2 si ha un flesso, (y"(x) = 0 ed è presente un cambio di concavità)