Fisica

Question

Una sonda spaziale viene lanciata dalla Terra verso Marte, facendole percorrere un'orbita semi-ellittica, tangente sia all'orbita della Terra sia a quella marziana, sotto l'effetto dell'attrazione gravitazionale del Sole. La velocità iniziale $v_{ T }$ è tangente all'orbita della Terra e la velocità finale $v_{ M }$ è tangente all'orbita di Marte.
Approssima le orbite di entrambi i pianeti con circonferenze aventi il Sole come centro. Trascura l'interazione gravitazionale fra la sonda e i due pianeti.
- Calcola i semiassi dell'orbita della sonda $\left(r_{ T }=1,496 \times 10^{11} m ; r_{ M }=2,279 \times 10^{11} m \right)$.
- Calcola la variazione della quantità di moto della sonda tra la partenza e l'arrivo, nell'ipotesi che la sua massa non vari apprezzabilmente e che sia pari a $m=1000 kg$.
$\left[1,888 \times 10^{11} m ; 1,846 \times 10^{11} m ; 5,421 \times 10^7 kg \cdot m / s \right]$

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Elena.1

(@elena-1)

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10/09/2023 22:04

StefanoPescetto · Accepted Answer

semiasse maggiore: a= (RT+RM) /2 [attach]54165[/attach] a=1,888*10^11  m semidistanza focale: c= a-RT = 3,92*10^10  m semiasse minore: b= radice (a²-c²) [attach]54166[/attach] b=1,846*10^11  m vT = radice (G*Msole /RT)  vM = radice (G*Msole /RM)  Variazione della quantità di moto: [attach]54167[/attach] [attach]54168[/attach] Dp=5,42*10^7  kg*m/s

exProf · Answer

Nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico in unità u = 10^8 m, con origine nel punto S della figura e assi coordinati paralleli a quelli di simmetria dell'ellisse Γ in figura, l'equazione
* Γ ≡ ((x - xC)/a)^2 + ((y - yC)/b)^2 = 1
di quest'ultima si ricava da
* vertici dell'asse maggiore T(- 1496, 0) ed M(2279, 0)
* centro in C = (T + M)/2 = ((- 1496, 0) + (2279, 0))/2 = (783/2, 0)
* fuoco in (0, 0)
quindi
* semiasse maggiore a = (2279 - (- 1496))/2 = 3775/2
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2) = √((3775/2)^2 - b^2) = 783/2
* semiasse minore b = b = 2*√852346
* Γ ≡ ((x - 783/2)/(3775/2))^2 + ((y - 0)/(2*√852346))^2 = 1 ~≡
~≡ ((x - 783/2)/1887.5)^2 + (y/1846.4)^2 = 1
da cui
* (a, b) = (3775/2, 2*√852346) u ~= (1.8875, 1.8464)*10^11 m
------------------------------
Per la variazione della quantità di moto (m = 1000 kg)
* Δq = q(M) - q(T) = 1000*(vM - vT)
il problema appare malposto perché, non fornendo i valori di |vM| e |vT|, pretende di attendersi un risultato (5.421*10^7 kgm/s) con ben quattro cifre significative.
---------------
Usando i dati (con tre sole cifre significative) della Tavola al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_orbitale#Pianeti
* |vM| = 24.1 km/s = 24100 m/s
* |vT| = 29.8 km/s = 29800 m/s
e tenendo conto che le velocità sono sì parallele, ma di versi opposti, si ha
* Δq = 1000*(vM - vT) = 1000*(24100 + 29800) = 53900000 = 5.39*10^7 kgm/s
risultato ben diverso da quello assurdamente atteso.

exProf

(@exprof)

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11/09/2023 11:29

[Risolto] Fisica

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