In un'attrazione di un parco giochi una cabina di massa 350 kg, partendo da ferma, scende in caduta libera per 34 m. Poi entra in azione il sistema di arresto che le applica una forza elastica, opposta alla direzione del moto, di intensità ax, dove x è la distanza percorsa dal punto in cui inizia la frenata, e a = 1,1 • 10^3 N/m è una costante.
• Calcola la distanza percorsa nella fase di frenata.
9
punti
Livello 0
Per calcolare la distanza percorsa durante la fase di frenata, dobbiamo prima determinare la velocità finale della cabina alla fine della caduta libera utilizzando la legge di conservazione dell'energia meccanica.
L'energia potenziale gravitazionale della cabina all'inizio della caduta libera si trasforma completamente in energia cinetica quando la cabina raggiunge il fondo della caduta. Quindi, possiamo scrivere:
mgh = (1/2)mv^2
dove m è la massa della cabina, g è l'accelerazione di gravità, h è l'altezza della caduta e v è la velocità finale della cabina. Risolvendo per v, otteniamo:
v = sqrt(2gh)
dove sqrt indica la radice quadrata. Sostituendo i valori, abbiamo:
v = sqrt(2 * 9.81 m/s^2 * 34 m) = 26.5 m/s
Quindi, la velocità finale della cabina alla fine della caduta libera è di 26.5 m/s.
La cabina viene quindi frenata dal sistema di arresto, che esercita una forza elastica opposta alla direzione del moto. La forza elastica è data dalla legge di Hooke:
F = -kx
dove k è la costante elastica e x è la distanza percorsa dal punto in cui inizia la frenata. In questo caso, k è di 1,1 • 10^3 N/m.
La forza netta sulla cabina durante la frenata è data dalla somma della forza elastica e del peso della cabina. Poiché la cabina si muove in direzione opposta alla forza elastica, possiamo scrivere:
F_net = ma = mg - k*x
dove a è l'accelerazione della cabina durante la frenata, che è opposta alla direzione del moto. Risolvendo per x, otteniamo:
x = (mg - ma) / k
Sostituendo i valori, abbiamo:
x = (350 kg * 9.81 m/s^2 - 350 kg * 26.5 m/s^2) / (1.1 • 10^3 N/m) = 18 m
Quindi, la distanza percorsa durante la fase di frenata è di 18 metri.
65
punti
Livello 1
@lucamazz grazie mille!
Fai pure delle domande se hai bisogno
@lucamazz scusi l’ultima cosa: come ha fatto a trovare che l’accelerazione della cabina è uguale in modulo alla V finale nella caduta libera?
@lucamazz non mi trovo con i tuoi calcoli la x esce diverso da 18 e di segno negativo!!!
Energia potenziale iniziale: la cabina si trova ad altezza 34 m + x, perché scenderà di 34 metri + il tratto x di frenata.
Uo = (m g h + x) = 350 * 9,8 * 34 + m g x= 1,17 * 10^5 + 350 * 9,8 * x J;
Uo = (1,17 * 10^5 + 3430 * x) J
L'energia iniziale si trasforma in energia elastica finale;
La forza elastica non è costante, inizialmente è 0 N, cresce linearmente con x, è massima per x = distanza massima percorsa; quindi si prende la forza media (0 + F max ) / 2 = (F max) / 2;
F max = 1,1 * 10^3 * x ;
(F max) / 2 = 1,1 * 10^3 * x / 2 = 550 x N
Ue = 1/2 * (F elastica max )* x = 550 x * x = 550 x^2 ;
550 x^2 = 1,17 * 10^5 + 3430 x;
550 x^2 - 3430 x - 1,17 * 10^5 = 0;
facciamo la ridotta -b/2 = 3430/2 = + 1715;
x = [1715 +- radicequadrata(1715^2 + 550 * 1,17 * 10^5 )] / 550;
x = [1715+ radicequadrata(6,73 * 10^7)]/550;
x = (1715 + 8203) / 550 = 18 m; (distanza percorsa in fase di frenata).
Ciao @gloans
avevo sbagliato, non avevo considerato l'altezza totale di partenza che è 34 + x metri.
Ciao @gloans di nuovo.
86912
punti
Genius II
@mg grazie mille ma dovrebbe fare 18m
Infatti deve fare 18 m. Avevo sbagliato, non avevo considerato l'altezza totale di partenza che è 34 + x metri.
Ciao @gloans
@mg aaahh grazie mille ora ho capito
nella fase iniziale la cabina si trova ad una certa altezza h
per cui partendo da fermo la cabina presenta una energia potenziale iniziale pari a mgh
poi scende di 34 m. In questa fase energia del carrello è pari energia potenziale gravitazionale più quella elastica della frenata
Nella prima fase della frenata si ha ancora accelerazione e questo succede fino a quando la forza frenante uguaglia la forza peso, calcoliamo lo spazio di frenata ancora in fase di accelerazione:
a*x= m*g --> x= m*g / a = (350*9,81)/1.1*10^3 = 3,1 m
quindi dopo 34+3,1 = 37,1 m ha inizio la decelerazione.
a livello di energia in questo istante abbiamo
mg(h-37,1)+ 1/2*k*x^2
da cui :
mgh= mg(h-37,1) +1/2*k*x^2
da cui : x= radice[(2*m*g*37,1)/k]= [(2*350*9.81.37.1)/1.1*10^3]=15,2 m
per cui lo spazio di frenatura totale= 3,1+15,2 = 18,3m
8282
punti
Livello 6
@marus76 grazie mille ma dovrebbe fare 18m
Si può risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia meccanica. Inizialmente la cabina ha solo energia potenziale gravitazionale, mentre alla fine della frenata tutta l'energia potenziale gravitazionale è stata convertita in energia elastica.
L'energia potenziale gravitazionale della cabina iniziale è:
Ep = mgh = 350 kg * 9,81 m/s^2 * 34 m = 114564 J
L'energia elastica finale è:
Ee = 1/2 * k * x^2
dove k è la costante elastica del sistema di arresto e x è la distanza percorsa nella fase di frenata. Essendo l'energia meccanica conservata, si ha:
Ep = Ee mgh = 1/2 * k * x^2 x = sqrt(2mgh/k) = sqrt(2 * 350 kg * 9,81 m/s^2 * 34 m / (1,1 * 10^3 N/m)) = 6,4 m
Quindi la distanza percorsa nella fase di frenata è di circa 6,4 metri.
65
punti
Livello 1
@lucamazz grazie mille ma dovrebbe fare 18m
