Una sfera di raggio $R_l$ presenta una densità di carica non uniforme pari a $\rho=A r$ e una carica totale pari a $Q$. Calcolare il valore della costante $A$. Una corona sferica di raggi $R_2$ e $R_3$ è concentrica alla sfera e presenta la stessa densità di carica. Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio e la differenza di potenziale tra due punti posti a distanza $R_2$ e $R_3$.
$$
\left(R_l=10 \mu m, Q=3.5 n C, R_2=2 R_l, R_3=3 R_l\right)
$$
72
punti
Livello 0
La densità di carica è:
$\rho = \frac{Q}{V}$
da cui quindi:
$ dQ = \rho dV = \rho d(\frac{4}{3}\pi r^3) = \rho \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi A r^3 dr$
Se andiamo ad integrare dobbiamo quindi ottenere la carica totale:
$ Q = \int_0^{R_l} 4\pi Ar^3 dr = 4\pi A \frac{R_l^4}{4} = \pi A R_l^4$
da cui:
$ A = \frac{Q}{\pi R_l^4} = 1.1 \times 10^11 C/m^4$
Possiamo scrivere dunque, sostituendo l'espressione di A, che:
$ dQ = \frac{4Q}{R_l^4} r^3 dr$
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Passiamo al calcolo del campo elettrico nei vari punti dello spazio, usando il teorema di Gauss.
All'interno della prima sfera ($r <R_l$) la carica è quella contenuta in una sfera di raggio r:
$Phi(E) = \frac{Q(r)}{\epsilon_0}$
$ 4\pi r^2 \cdot E(r) = \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^r \frac{4Q}{R_l^4} s^3 ds$
Facendo i calcoli e isolando E otteniamo:
$ E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qr^2}{R_l^4}$
Per $R_l < r < R_1$, tutta la carica $Q$ è contenuta nella superficie considerata e dunque il campo è di tipo coulombiano:
$ E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2$}$
Quando entriamo nel guscio sferico ($R_1 < r < R_2$) procediamo come prima, tenendo presente che abbiamo tutta la carica $Q$ della sfera interna più una quantità di carica $Q(r)$.
Attenzione però perché cambia la costante A: procedendo come prima abbiamo infatti:
$ Q = \int_{R_1}^{R_2} A \cdot 4\pi r^3 dr = 4\pi A \bigg(\frac{R_2^4-R_1^4}{4} \bigg)$
quindi detta A' la nuova costante, usiamo di nuovo il teorema di Gauss
$ 4\pi r^2 \cdot E(r) = \frac{Q}{\epsilon_0} + \frac{1}{\epsilon_0} \int_{R_1}^{r} A' \cdot 4\pi s^3 ds$
da cui
$ 4\pi r^2 \cdot E(r) = \frac{Q}{\epsilon_0} + \frac{1}{\epsilon_0} \cdot 4\pi A' \bigg(\frac{r^4-R_1^4}{4}\bigg)$
e facendo i calcoli:
$ E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\bigg[ \frac{Q}{r^2}+4\pi A'(\frac{r^4-R_1^4}{4}\bigg) \bigg]$
Infine fuori dal guscio $r>R_2$ abbiamo di nuovo un campo coulombiano con una carica totale di $2Q$:
$ E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2Q}{r^2$}$
Infine per trovare il potenziale, ci basta integrare:
$ \Delta V = \int_{R_1}^{R_2} E(r) dr$
dove l'espressione del campo è quella interna al guscio. Lascio a te fare i calcoli.
Noemi
9382
punti
Livello 5
