Caccia all'errore. Secondo Gianni, "condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione derivabile $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ abbia in $x_0$ un punto di estremo relativo è che sia $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ». Quale errore sta commettendo Gianni? Trova un controesempio e correggi la sua affermazione.
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Problema:
Secondo Gianni, «condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ abbia in $x_0$ un punto di estremo relativo è che sia $f'(x_0)=0$». Quale errore sta commettendo Gianni? Trova un controesempio e correggi la sua definizione.
Soluzione:
Per correggere l'affermazione di Gianni è opportuno utilizzare la definizione di punto di estremo relativo:
"Si dice che una funzione $f$ ha in $x_0$ un massimo locale (o relativo) se $x_0$ appartiene al dominio $D$ di $f$, è di accumulazione per $D$, e inoltre $f(x_0)≥f(x)$ in un intorno di $x_0$." Tratto da Wikipedia (it).
Da ciò risulta dunque che $f'(x_0)=0$ è semplicemente una condizione necessaria, non vi è la doppia implicazione, dato che è anche necessario che $f(x_0)$ sia maggiore, per il massimo locale, o minore, per il minimo locale, di $f(x)$.
Controesempio:
È possibile considerare una generica funzione $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ | $y=x^n$, ove $n=2k+1$ con $k\in \mathbb{N}$ , la quale presenta una derivata seconda nulla e dunque alcuna concavità.
Correzione della frase di Gianni:
«condizione necessaria affinché una funzione derivabile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ abbia in $x_0$ un punto di estremo relativo è che sia $f'(x_0)=0$».
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