Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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Primo fascio F1
* r(k) ≡ 2*x + 2*k*y + 1 - k = 0
* r(0) ≡ x = - 1/2
* r(1) ≡ y = - x
* r(0) & r(1) ≡ Centro C1(- 1/2, 1/2)
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Secondo fascio F2
* s(k) ≡ (k + 1)*x - k*y + 1 = 0
* s(0) ≡ x = - 1
* s(1) ≡ y = 2*x + 1
* s(0) & s(1) ≡ Centro C2(- 1, - 1)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) La congiungente C1C2 è l'r(k) per C2(- 1, - 1) ed anche l's(k) per C1(- 1/2, 1/2).
* 2*(- 1) + 2*k*(- 1) + 1 - k = 0 ≡ k = - 1/3
* r(- 1/3) ≡ y = 3*x + 2
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* (k + 1)*(- 1/2) - k*(1/2) + 1 = 0 ≡ k = 1/2
* s(1/2) ≡ y = 3*x + 2
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* r(k) & s(k) ≡ (2*x + 2*k*y + 1 - k = 0) & ((k + 1)*x - k*y + 1 = 0) ≡
≡ (x = (k - 3)/(2*(k + 2))) & (y = (k^2 + 1)/(2*k*(k + 2)))
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Quindi
* non esiste alcun valore di k per cui si abbia r(k) ≡ s(k).
* per k = - 2 si ha r(k) // s(k).
* per k = 0 si ha r(k) // s(k).
* per k non in {- 2, 0} r(k) e s(k) sono incidenti in I((k - 3)/(2*(k + 2)), (k^2 + 1)/(2*k*(k + 2))).
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7B%282*x--2*k*y--1-k%29*%28%28k--1%29*x-k*y--1%29%3D0%7D%2C%7Bk%2C%7B-2%2C0%7D%7D%5D
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b) Già fatto in premessa.
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c) Del segmento di estremi
* C1(- 1/2, 1/2), C2(- 1, - 1)
l'asse è
* asse(C1C2) ≡ y = - (2*x + 3)/6
da cui
* P(3, - 3/2)
L'r(k) per P e l's(k) per P li determini come fatto sub a per quelle per i C.
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d) Del triangolo, isoscele per costruzione, di vertici
* C1(- 1/2, 1/2), C2(- 1, - 1), P(3, - 3/2)
si calcola il baricentro come punto medio
* G = (C1 + C2 + P)/3 = ((- 1/2, 1/2) + (- 1, - 1) + (3, - 3/2))/3 = (1/2, - 2/3)
e l'ortocentro come intersezione fra asse(C1C2) e una delle altezze da un vertice C che, francamente, non mi va di calcolare qui. Per verificare l'attendibilità del risultato atteso vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-1%2F2%2C1%2F2%29%28-1%2C-1%29%283%2C-3%2F2%29orthocenter
