FASCIO DI RETTE

$ (k+1)x+(k-1)y+k-2 = 0 $

1. Le rette parallele all'asse x hanno equazioni del tipo y = c; dove c è una costante reale. Tale situazione si ha se k = -1 

2. Le rette parallele all'asse y hanno equazioni del tipo x = c; dove c è una costante reale. Tale situazione si ha se k = 1

3. Se si vuole per passi per O(0,0) è necessario che sia (k+1)0 + (k-1)0 +k-  2 = 0 ovvero k = 2

4. Una retta passante per P(-2,3). In altre parole le coordinate del punto devono soddisfare l'equazione della retta. $ -(k+1)2 +(k-1)3+k-2 = 0 $ ovvero $k =\frac{7}{2}$

5. cioè deve passare per (0,-5) e questo implica (k+1)0+(k-1)(-5)+k+2 = 0 ovvero $k =\frac{3}{4}$  

6. cioè passa per P(3, 0) e questo implica 3(k+1) +k-2 = 0 ovvero $k =-\frac{1}{4}$  

7. Coefficiente angolare delle rette del fascio. Scriviamo il fascio in forma esplicita

$ y = -\frac{k+1}{k-1} x + \frac{2.k}{k-1} $

quindi il coefficiente angolare delle rette del fascio è $ m_k = -\frac{k+1}{k-1}$

Coefficiente angolare della retta r:. Scriviamo r: in forma esplicita

$ r:  y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$,  per cui $m_r = -\frac{1}{2}$

Le due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare

$ m_r = m_k$

$ -\frac{1}{2} = -\frac{k+1}{k-1} $ per cui $k =-\frac{1}{3}$

7. retta $s:   y =-3x+1$ il coefficiente angolare di s: è così $m_s = -3$   

Due rette sono perpendicolari tra loro se il prodotto dei coefficienti angolari vale -1.

$ m_s \cdot m_k = -1 $

$ -3 \cdot -\frac{k+1}{k-1} = -1$

$ 4k = -2$

$ k = -\frac{1}{2}$