[Risolto] Fascio di parabole es288

Considera il fascio di parabole di equazione y = kx^2 - 2x - k + 1; determina:

1. i punti base e le caratteristiche del fascio;
2. la parabola del fascio passante per l'origine;
3. la parabola del fascio tangente alla retta di equazione y = -2x - 1;
4. la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione x + y = 3.

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1. i punti base e le caratteristiche del fascio

y = k·x^2 - 2·x - k + 1

si hanno parabole ad asse verticale per k ≠ 0

Riscrivo:

k·(x^2 - 1) - 2·x - y + 1 = 0

metto a sistema:

{x^2 - 1 = 0

{1 - 2·x - y = 0

soluzione: [x = 1 ∧ y = -1, x = -1 ∧ y = 3]

da cui ottengo due punti base: A [1, -1], B[-1, 3]. In particolare per x^2-1 =0 si hanno due rette:

x = -1 ∨ x = 1 parallele all'asse delle y passanti per i due punti base (parabola degenere nascosta).

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2.la parabola del fascio passante per l'origine

Si ottiene per k=1

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3. la parabola del fascio tangente alla retta di equazione y = -2x - 1

{y = k·x^2 - 2·x - k + 1

{y = - 2·x - 1

per sostituzione:

k·x^2 - 2·x - k + 1 + 2·x + 1 = 0

k·x^2 - k + 2 = 0

condizione di tangenza: Δ = 0 (in tal caso: - 4·a·c = 0)

- 4·k·(2 - k) = 0-----> k = 2 ∨ k = 0

Si scarta k=0 (per tale valore si ottiene retta parallela a quella data passante per A e B)

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4. la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione x + y = 3

y = k·x^2 - 2·x - k + 1

a = k ; b = -2; c = 1 - k

V= vertice parabola= [- b/(2·a), - Δ/(4·a)]

Δ = b^2 - 4·a·c ---> Δ = (-2)^2 - 4·k·(1 - k) = 4·(k^2 - k + 1)

- b/(2·a)= 1/k=x (ascissa parabola)

y = 3 - x

- 4·(k^2 - k + 1)/(4·k) = 3 - 1/k

se risolvi ottieni: k = -2

V(-1/2,7/2)