[Risolto] FASCIO DI PARABOLE

L'esercizio presenta tre problemi, due simili benposti e il terzo ben diverso e malposto.
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1) "(k-2)y=3(k-2)x2+kx+3" ≡
≡ Γ(k) ≡ (k - 2)*y = 3*(k - 2)*x^2 + k*x + 3
ha due casi particolari
* Γ(0) ≡ y = 3*x^2 - 3/2 (parabola)
* Γ(2) ≡ x = - 3/2 (retta)
"Giustifica perché" per dimostrazione costruttiva.
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2) "y=3x2+2kx-(k/2)" ≡
≡ Γ(k) ≡ y = 3*x^2 + 2*k*x - k/2
ha un solo caso particolare
* Γ(0) ≡ y = 3*x^2 (parabola)
quindi il fascio non ha elementi reali degeneri.
"Giustifica perché" perché il coefficiente direttore "3", non essendo parametrico, non è annullabile.
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3) Scrivi l'equazione del fascio di parabole per A(1, 2) e B(6, 7) è una consegna sbagliata, perché usa il singolare; per ottenere un fascio, cioè una famiglia dipendente da un solo parametro, di punti ne servono quattro (oppure due, ma dando anche la direzione degli assi di simmetria).
Con due soli punti il massimo che si può fare è come segue.
3a) parabola generica: (p*x + q*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
3b1) passaggio per A(1, 2): (p*1 + q*2)^2 + a*1 + b*2 + c = 0
3b2) passaggio per B(6, 7): (p*6 + q*7)^2 + a*6 + b*7 + c = 0
3c) sistema dei vincoli:
* ((p*1 + q*2)^2 + a*1 + b*2 + c = 0) & ((p*6 + q*7)^2 + a*6 + b*7 + c = 0) ≡
≡ (a = 14*q^2/13 - 13*(p + 14*q^2/13)^2 + c) & (b = 6*(p + q)^2 - q^2 - c)
3d) famiglia di parabole (con tre parametri):
* (p*x + q*y)^2 + (14*q^2/13 - 13*(p + 14*q^2/13)^2 + c)*x + (6*(p + q)^2 - q^2 - c)*y + c = 0 ≡
≡ 13*(x - y + 1)*c + 13*(x^2 - 13 x + 6 y)*p^2 + 26*((x + 6)*y - 14*q*x)*p*q - 196*x*q^4 + (13*y^2 + 14*x + 65*y)*q^2