[Risolto] Fascio di parabole

y = x^2 - (b + 1)·x + 3

riscrivo il fascio:

x^2 - (b + 1)·x + 3 - y = 0

- b·x + (x^2 - x - y + 3) = 0

Determino gli eventuali punti base del fascio:

{x = 0

{x^2 - x - y + 3 = 0

risolvo il sistema ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 3]

Quindi un solo punto base: P(0,3)

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Determino parabola del fascio tangente alla retta 

r :  3·x + 2·y - 6 = 0 in P(0,3)

{3·x + 2·y - 6 = 0

{y = x^2 - (b + 1)·x + 3

Dalla 1^: y = 3 - 3·x/2 procedo per sostituzione

3 - 3·x/2 = x^2 - (b + 1)·x + 3

x^2 - (b + 1)·x + 3 - 3 + 3/2·x = 0

x^2 + x·(1 - 2·b)/2 = 0

Applico la condizione di tangenza: Δ = 0

che in questo caso specifico si scrive: (1 - 2·b)^2 = 0

da cui: b = 1/2

y = x^2 - (1/2 + 1)·x + 3----> y = x^2 - 3·x/2 + 3

(che si può scrivere anche: 2·y = 2·x^2 - 3·x + 6)

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Determino retta perpendicolare ad r in P ed il suo ulteriore punto Q di intersezione con la parabola

y = 3 - 3·x/2----> m=-3/2

quindi la perpendicolare ha m = 2/3

y - 3 = 2/3·x-----> y = 2·x/3 + 3 che si può scrivere anche 2·x - 3·y + 9 = 0

Quindi a sistema:

{2·x - 3·y + 9 = 0

{2·y = 2·x^2 - 3·x + 6

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 3 , x = 13/6 ∧ y = 40/9]

Quindi Q(13/6,4/9)

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Tangente in Q alla parabola con formule di sdoppiamento

2·(y + 40/9)/2 = 2·(13/6·x) - 3·(x + 13/6)/2 + 6

(9·y + 40)/9 = 13·x/3 - (6·x + 13)/4 + 6

36·y + 160 = 102·x + 99----> 102·x - 36·y - 61 = 0

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Area triangolo ottenuto tramite le tre rette:

3·x + 2·y - 6 = 0

2·x - 3·y + 9 = 0

102·x - 36·y - 61 = 0

Mettendo a sistema a due a due le tre rette si ottengono i vertici del triangolo:

[0, 3]

[13/12, 11/8]

[13/6, 40/9]

[0, 3]

Α = 1/2·ABS(0·11/8 + 13/12·(40/9) + 13/6·3 - (0·40/9 + 13/6·(11/8) + 13/12·3))

Α = 2197/864

a) il punto comune si determina dando due valori a b ed intersecando

b = -1    y = x^2 + 3

b = 0    y = x^2 - x + 3

Sottraendo : x = 0 e così y = 3

P = (0,3)

b) Scrivi la risolvente

3x + 2[x^2 - (b+1)x + 3] - 6 = 0

3x + 2x^2 - (2b +2) x + 6 - 6 = 0

2x^2 - (2b - 1) x = 0

(2b - 1)^2 = 0

b = 1/2

y = x^2 - 3/2 x + 3

c) 2x - 3y + k = 0

2*0 - 3*3 + k = 0

k = 9

2x - 3y + 9 = 0

ponendo a sistema

2x - 3(x^2 - 3/2 x + 3) + 9 = 0

2x - 3x^2 + 9/2 x = 0

13/2 x - 3x^2 = 0

e con x =/= 0

x = 13/6

e y  = 169/36 - 39/12 + 3 = (169 - 117+108)/36 = 160/36 = 40/9.

Ti lascio da svolgere i punti d) ed e) ricordando solo che la tangente in Q

ha equazione

y - yQ = (2a xQ + b) (x - xQ)

y - 40/9 = (2*13/6 - 3/2)(x - 13/6)

A) L'equazione del fascio
* Γ(b) ≡ y = x^2 - (b + 1)*x + 3
ha parametrico solo uno dei tre coefficienti che scompare solo in P(0, 3), unico punto base.
Ponendo in evidenza il vertice l'equazione assume la forma
* Γ(b) ≡ y = (x - (b + 1)/2)^2 + 3 - ((b + 1)/2)^2
da cui
* pendenza m(x, b) = 2*x - (b + 1)
* vertice V((b + 1)/2, 3 - ((b + 1)/2)^2)
* luogo dei vertici y = 3 - x^2
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B) La retta
* r ≡ 3*x + 2*y - 6 = 0 ≡ y = (- 3/2)*(x - 2)
ha
* pendenza m = - 3/2
* punto cursore R(k, (- 3/2)*(k - 2))
che, per la tangenza, devono essere comuni con la Γ(b) richiesta.
* (2*x - (b + 1) = - 3/2) & ((- 3/2)*(x - 2) = x^2 - (b + 1)*x + 3) ≡
≡ (b = 1/2) & (x = 0 → y = 3)
quindi
* γ ≡ Γ(1/2) ≡ y = x^2 - (3/2)*x + 3 ≡ y = (x - 3/4)^2 + 39/16
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C) la retta p perpendicolare a r in P è
* p ≡ y = (2/3)*x + 3
che interseca γ in
* p & γ ≡ (y = (2/3)*x + 3) & (y = (x - 3/4)^2 + 39/16) ≡
≡ P(0, 3) oppure Q(13/6, 40/9)
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D) γ in Q ha pendenza
* m(13/6, 1/2) = 2*13/6 - (1/2 + 1) = 17/6
La retta per Q con tale pendenza è
* t ≡ y = (17/6)*(x - 13/6) + 40/9 ≡ y = (102*x - 61)/36
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E) L'area S del triangolo, rettangolo in P per costruzione, formato dalle rette
* p ≡ y = (2/3)*x + 3
* r ≡ y = (- 3/2)*(x - 2)
* t ≡ y = (102*x - 61)/36
di cui nessuna è parallela a un asse coordinato, si calcola con la formula dell'area di Gauss ("a lacci di scarpe") in funzione delle coordinate dei vertici
* p & r ≡ P(0, 3) per costruzione
* p & t ≡ Q(13/6, 40/9) per costruzione
* r & t ≡ (y = (- 3/2)*(x - 2)) & (y = (102*x - 61)/36) ≡ R(13/12, 11/8)
quindi
* S(PQR) = 2197/864
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RIFERIMENTI
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-39%2F16%3D%28x-3%2F4%29%5E2%2C%28y-%282%2F3%29*x-3%29*%28%28-3%2F2%29*%28x-2%29-y%29*%28%28102*x-61%29%2F36-y%29%3D0%5D
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss