Fascio di parabole

a·x^2 + (1 - 4·a)·x - y - 4 = 0

Riscrivo:

a·x·(x - 4) + x - y - 4 = 0

Metto a sistema le generatrici del fascio:

{x·(x - 4) = 0

{x - y - 4 = 0

risolvo ed ottengo i punti base del fascio:

[x = 0 ∧ y = -4, x = 4 ∧ y = 0]

A [0, -4]

B [4, 0]

determino le due parabole richieste

Considero:

y = a·x^2 + x·(1 - 4·a) - 4

y = x - 4

ed integro fra x=0 ed x=4 la loro differenza:

a·x^2 + x·(1 - 4·a) - 4 - (x - 4) = a·x^2 - 4·a·x

∫(a·x^2 - 4·a·x) dx = a·x^3/3 - 2·a·x^2

a·4^3/3 - 2·a·4^2= - 32·a/3

pongo:

- 32·a/3 = 16/3----> a = - 1/2

parabola richiesta:

y = (- 1/2)·x^2 + x·(1 - 4·(- 1/2)) - 4

y = - x^2/2 + 3·x - 4  con a<0

L'altra parabola si ottiene facendo la differenza:

x - 4 - (a·x^2 + x·(1 - 4·a) - 4) = 4·a·x - a·x^2

ed integro fra x=0 ed x=4

∫(4·a·x - a·x^2) dx = 2·a·x^2 - a·x^3/3

2·a·4^2 - a·4^3/3 = 32·a/3

32/3·a = 16/3----> a = 1/2

y = 1/2·x^2 + x·(1 - 4·(1/2)) - 4

y = x^2/2 - x - 4   con a>0

 punto medio M [2,-2]

Calcolo la funzione simmetrica di

y = x^2/2 - x - 4

rispetto al punto M. Si tratta di fare le sostituzioni:

x → 2·2 - x

y → 2·(-2) - y

Quindi si ottiene:

2·(-2) - y = (2·2 - x)^2/2 - (2·2 - x) - 4

-y - 4 = x^2/2 - 3·x

risolvendo rispetto ad y:

y = - x^2/2 + 3·x - 4

che verifica quanto richiesto.