[Risolto] Fasci di rette

@vor

Buona sera.

Tue parole...."non capisco come sono messi i 2 triangoli. " Sono messi come in figura:

Risoluzione

Fascio proprio:

3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0-----> k·(3·x - 2·y) - y - 6 = 0 rette generatrici

3·x - 2·y = 0 e -y - 6 = 0 ossia y + 6 = 0 Centro del fascio P([x = -4 ∧ y = -6])

Il fascio si può scrivere:

y = 3·(k·x - 2)/(2·k + 1) con 2·k + 1 ≠ 0 cioè k ≠ - 1/2----> y = 3·k·x/(2·k + 1) - 6/(2·k + 1)

Calcolo in funzione di k, le intercette con gli assi:

{y =0

{y = 3·k·x/(2·k + 1) - 6/(2·k + 1)

Risolvo: [x = 2/k ∧ y = 0] con asse x------------->[2/k, 0]

{x = 0

{y = 3·k·x/(2·k + 1) - 6/(2·k + 1)

Risolvo: [x = 0 ∧ y = - 6/(2·k + 1)] con asse y-------> [0, - 6/(2·k + 1)]

Date le coordinate dell'incentro H(1,-1) si deduce che la distanza di tale punto dalla retta sia pari ad 1

(dovendo essere la circonferenza interna tangente ai lati del triangolo rettangolo)

1 = ABS(3·k·1 - (1 + 2·k)·(-1) - 6)/√((3·k)^2 + (- (1 + 2·k))^2)

1 = 5·ABS(k - 1)/√(13·k^2 + 4·k + 1) 

Risolvo: k = 1/2 ∨ k = 4

per k=1/2: y = 3·(1/2)·x/(2·(1/2) + 1) - 6/(2·(1/2) + 1)---->  y = 3·x/4 - 3 OK!

per k=4: y = 3·4·x/(2·4 + 1) - 6/(2·4 + 1)-----> y = 4·x/3 - 2/3 si esclude perché q=-2/3 (sta sopra!)

Il baricentro è la media delle coordinate dei tre punti:

[2/k, 0]

[0, - 6/(2·k + 1)]

[0,0]

{Xg= - 8/3 = 2/k·(1/3)

{Yg= -4 = - 6/(2·k + 1)·(1/3)

Quindi si ha: k = - 1/4

y = 3·(- 1/4)·x/(2·(- 1/4) + 1) - 6/(2·(- 1/4) + 1)

y = - 3·x/2 - 12

Deve poi essere:

-8 < 2/k < 4-------> k < - 1/4 ∨ k > 1/2

Penso di aver risposto a tutto!