fasci di rette

Ciao di nuovo

Determino i punti A,B,C,D utilizzando il parametro k:

{y = 2·x + 1

{y = k

Risolvo il sistema: [(k - 1)/2, k] che corrisponde ad A

{y = -x + 10

{y = k

Risolvo il sistema: [10 - k, k] che corrisponde a B

{y = 1/2·x - 1/2

{y = k

Risolvo il sistema: [2·k + 1, k] che corrisponde a C

{y = - 3/2·x + 19/2

{y = k

Risolvo il sistema: [(19 - 2·k)/3, k] che corrisponde a D

Siccome nel piano cartesiano i segmenti AB e CD sono allineati in orizzontale

in corrispondenza dell'ordinata k, si dovrà imporre:

ABS((10 - k) - (k - 1)/2) = ABS((19 - 2·k)/3 - (2·k + 1))

ABS(3·(7 - k)/2) = ABS(8·(2 - k)/3)

essendo grandezze positive, elevo al quadrato...

(9·k^2 - 126·k + 441)/4 = (64·k^2 - 256·k + 256)/9

175·k^2 + 110·k - 2945 = 0

35·k^2 + 22·k - 589 = 0

Risolvendo si ottiene: k = - 31/7 ∨ k = 19/5

Il sistema
* (y = 2*x + 1) & (y = 10 - x) & (y = (x - 1)/2) & (y = (19 - 3*x)/2)
è incompatibile perché le rette formano un quadrilatero, quindi il titolo della domanda ci azzecca come i cavoli a merenda.
Le intersezioni con la y = k sono come segue.
a) (y = k) & (y = 2*x + 1) ≡ A((k - 1)/2, k)
b) (y = k) & (y = 10 - x) ≡ B(10 - k, k)
c) (y = k) & (y = (x - 1)/2) ≡ C(2*k + 1, k)
d) (y = k) & (y = (19 - 3*x)/2) ≡ D((19 - 2*k)/3, k)
Le lunghezze dei segmenti AB e CD sono come segue.
* |AB| = |10 - k - ((k - 1)/2)| = (3/2)*|k - 7|
* |CD| = |(19 - 2*k)/3 - (2*k + 1)| = (8/3)*|k - 2|
La condizione di congruenza dei segmenti impone l'eguaglianza delle misure
* AB ≈ CD ≡ |AB| = |CD| ≡
≡ (3/2)*|k - 7| = (8/3)*|k - 2| ≡
≡ |k - 7| = (16/9)*|k - 2| ≡
≡ (k - 7 = - (16/9)*|k - 2|) oppure (k - 7 = (16/9)*|k - 2|) ≡
≡ (|k - 2| = - (9/16)*(k - 7)) oppure (|k - 2| = (9/16)*(k - 7)) ≡
≡ (k - 2 = - (9/16)*(k - 7)) oppure (k - 2 = (9/16)*(k - 7)) ≡
≡ (k = 19/5) oppure (k = - 31/7)
che è proprio il risultato atteso.