Fasci di Parabole: Devo risolvere questo esercizio, vorrei un bel disegno e tutto il procedimento spiegato passo per passo

{y = k

{x - k·y + 2·k = 0

Risolvo ed ottengo il centro C di tali fasci: [x = k^2 - 2·k ∧ y = k]

C [k^2 - 2·k, k]

Dal sistema:

{x - k·y + 2·k = 0

{y = 0

ottengo: [x = - 2·k ∧ y = 0]

cioè il punto di tangenza [- 2·k, 0] del fascio di parabole al fascio di rette messe sopra a sistema.

 Da tale punto passa il fascio di parabole individuato inizialmente dall'equazione:

x = a·y^2 + b·y + c

Determiniamo quindi i coefficienti imponendo le condizioni: passaggio per [- 2·k, 0]

Quindi:

- 2·k = a·0^2 + b·0 + c----> - 2·k = c---> c = - 2·k

- b/(2·a) = k asse del fascio di parabole b = - 2·a·k

Per individuare il fascio di parabole dobbiamo mettere a sistema:

{x = a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k

{x - k·y + 2·k = 0

Quindi procedo per sostituzione:

x = k·y - 2·k

k·y - 2·k = a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k

a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k - (k·y - 2·k) = 0

a·y^2 - y·(2·a·k + k) = 0

Impongo l'ultima condizione di tangenza:

Δ = 0-----> (2·a·k + k)^2 = 0----> a = - 1/2 ∨ k = 0

Quindi abbiamo un fascio di parabole congruenti (stessa apertura data da a)

Determinazione del fascio di parabole:

x = (- 1/2)·y^2 - 2·(- 1/2)·k·y - 2·k

x = - y^2/2 + k·y - 2·k

Studio del fascio

x - (- y^2/2 + k·y - 2·k) = 0

x + y^2/2 - k·y + 2·k = 0

- (2·k·(y - 2) - 2·x - y^2)/2 = 0

2·k·(y - 2) - 2·x - y^2 = 0

metto a sistema le generatrici e determino i punti base

{y - 2 = 0

{2·x + y^2 = 0

risolvo ed ottengo: [x = -2 ∧ y = 2]

[-2, 2] è l'unico punto base

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Determino le parabole del fascio con il fuoco di ascissa x=2

x = - y^2/2 + k·y - 2·k

Δ = k^2 - 4·(- 1/2)·(- 2·k)

Δ = k^2 - 4·k

x = (1 - Δ)/(4·a) = 2

x = (1 - (k^2 - 4·k))/(4·(- 1/2)) = 2

x = (k^2 - 4·k - 1)/2 = 2

k^2 - 4·k - 1 = 4

risolvo: k = 5 ∨ k = -1

k = 5 : x = - y^2/2 + 5·y - 10

k = -1 : x = - y^2/2 - y + 2