Famiglia di funzioni

MA CHE TI SAREBBE COSTATO PUBBLICARE UNA FOTO DECENTE? Piatta, frontale, leggibile, illuminata bene? Alle 15:44 stavi in santa pace, non dovevi farla di nascosto!
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Per evitare troppi Copia/Incolla col carattere α io il parametro lo chiamo k.
Il sistema
* (y = cos^2(k)*x^2 - 2*cos(k)*x + sin^2(k) + 1) & (0 <= k <= π/2)
rappresenta parabole con l'asse di simmetria parallelo all'asse y purché
* (cos^2(k) != 0) & (0 <= k <= π/2) ≡ (0 <= k < π/2)
Con tale restrizione si ha
* y = cos^2(k)*(x^2 - 2*x/cos(k) + (sin^2(k) + 1)/cos^2(k)) ≡
≡ y = cos^2(k)*((x - 1/cos(k))^2 + tg^2(k)) ≡
≡ y = cos^2(k)*(x - 1/cos(k))^2 + sin^2(k)
e da questa forma si leggono le proprietà geometriche
* apertura a = cos^2(k) != 0
* vertice V(1/cos(k), sin^2(k))
Per ottenere il luogo richiesto si elimina k risolvendo
* (x = 1/cos(k)) & (y = sin^2(k)) & (0 <= k < π/2) ≡
≡ (cos(k) = 1/x) & (y = sin^2(arccos(1/x))) & (0 <= k < π/2) ≡
≡ (k = arccos(1/x)) & (y = 1 - 1/x^2) & (x >= 1)
quindi
il luogo richiesto è la parte positiva del ramo destro della
* γ ≡ y = 1 - 1/x^2
con pendenza
* dy/dx = m(x) = 2/x^3
da cui, negli zeri,
* m(± 1) = ± 2
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QUESITO A
Vedi il paragrafo "Plots" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D1-1%2Fx%5E2
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QUESITO B1
La parabola Γ tangente γ nei suoi zeri (± 1, 0) deve avere la forma
* Γ ≡ y = a*x^2 - h
e la pendenza
* dy/dx = M(x) = 2*a*x
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L'appartenenza di (± 1, 0) impone il vincolo
* 0 = a - h ≡ h = a
da cui
* Γ ≡ y = a*(x^2 - 1)
--------
Le pendenze in (± 1, 0) devono essere
* M(± 1) = ± 2*a = m(± 1) = ± 2
da cui
* a = 1
* Γ ≡ y = x^2 - 1
Vedi i grafici e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D1-1%2Fx%5E2%2Cy%3Dx%5E2-1%5D
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QUESITO B2
* Γ ≡ y = x^2 - 1
* γ ≡ y = 1 - 1/x^2
* Γ - γ ≡ y = (x - 1/x)^2
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* f(x) = (x - 1/x)^2
* F(x) = ∫ f(x)*dx = x^3/3 - 2*x - 1/x + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
= ((b - a)/(3*a*b))*(a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3 - 6*a*b + 3)
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* I(f, 1, 2) = ((2 - 1)/(3*1*2))*(1^3*2 + 1^2*2^2 + 1*2^3 - 6*1*2 + 3) =
= 5/6