Espressioni con formule goniometriche

@chiaracatarinozzi

Ciao.

(SIN(α + β)^2 - SIN(α - β)^2)/(COS(α + β)^2 - COS(α - β)^2)

NUMERATORE:

SIN(α + β)^2 - SIN(α - β)^2

SIN(α + β)^2 = (SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α))^2

SIN(α - β)^2 = (SIN(α)·COS(β) - SIN(β)·COS(α))^2

Sviluppiamo i due secondi membri:

SIN(α + β)^2 = COS(α)^2·SIN(β)^2 + 2·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β) +

+SIN(α)^2·COS(β)^2

SIN(α - β)^2 = COS(α)^2·SIN(β)^2 - 2·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β) +

+SIN(α)^2·COS(β)^2

--------------------------------------------------(differenza)

4·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β)

DENOMINATORE:

COS(α + β)^2 - COS(α - β)^2

COS(α + β)^2 = (COS(α)·COS(β) - SIN(α)·SIN(β))^2

COS(α - β)^2 = (COS(α)·COS(β) + SIN(α)·SIN(β))^2

Sviluppiamo i due secondi membri:

COS(α + β)^2 = COS(α)^2·COS(β)^2 - 2·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β) +

+SIN(α)^2·SIN(β)^2

COS(α - β)^2 = COS(α)^2·COS(β)^2 + 2·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β) +

+SIN(α)^2·SIN(β)^2

----------------------------------------------------(differenza)

- 4·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β)

Quindi semplifichiamo i due risultati:

4·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β)/(- 4·SIN(α)·COS(α)·SIN(β)·COS(β)) = -1

Prima di sviluppare le formule di somma degli archi, usa quelle di bisezione in modo da semplificare i quadrati.

$cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}$

$sin^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}$

In questo caso $x=  \alpha + \beta$ e quindi $2x=  2(\alpha + \beta)$.

Dopo procedi come stavi facendo. Ora non hai doppi prodotti e diversi termini si semplificano.

Secondo me la via più spicciativa è la formula di addizione della tangente.
Con
* u = α + β
* v = α - β
scrivo
* (sin^2(α + β) - sin^2(α - β))/(cos^2(α + β) - cos^2(α - β)) =
= (sin^2(u) - sin^2(v))/(cos^2(u) - cos^2(v)) =
= (sin(u) + sin(v))*(sin(u) - sin(v))/((cos(u) + cos(v))*(cos(u) - cos(v))) =
= ((sin(u) + sin(v))/(cos(u) + cos(v)))*(sin(u) - sin(v))/(cos(u) - cos(v)) =
= ((sin(u) + sin(v))/(cos(u) + cos(v)))/((cos(u) - cos(v))/(sin(u) - sin(v))) =
= (tg(u/2 + v/2))/(- tg(u/2 + v/2)) =
= - 1