[Risolto] Espressioni algebriche

Immagino che la consegna, per l'espressione 187, sia di semplificarla.
SPIEGAZIONE PER TUO FIGLIO
La strategia da apprendere per semplificare le espressioni l'hanno inventata i politici ed è nota come "dìvide et ìmpera" dove l'imperio è la semplicità di calcolo per minimizzare gli errori e la divisione è l'individuazione dell'operatore di più alto livello (quello da eseguire per ultimo) e dei suoi due operandi se è un operatore binario (le quattro operazioni, le potenze, MCD, mcm, ...) o del suo singolo operando se è un operatore unario (le radici, l'opposto, l'inverso, ...). Per gli operatori con più di due operandi, salvo casi particolarissimi, si ricorre alle eventuali proprietà distributiva e associativa.
Là dove un operando sia a sua volta ancora un'espressione gli si applica la medesima strategia, e così via ricorsivamente fino a che non si trovino operandi che siano monomi (eventualmente costanti, cioè di grado zero).
Ovviamente questa è una strategia da principiante (come un alunno della prima superiore): lenta, noiosa, ma sicura; gli esiti si producono eseguendo una procedura senza che occorrano né esperienza né colpo d'occhio. Altrettanto ovvio è che, via via che si sviluppano esperienza e colpo d'occhio, si saltano passaggi e si acquisiscono sicurezza e rapidità d'esecuzione.
NOTA IMPORTANTE che non riguarda la matematica, ma solo i compiti di matematica: è bene imparare a scrivere le espressioni con una qualche "sintassi da compilatore" in modo da poterle sottoporre a uno dei tanti software di calcolo che diano modo a un principiante sia di conoscere in anticipo quale sia il risultato finale da ottenere e sia di controllare la correttezza dei passaggi intermedii.
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ESERCIZIO #187
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La struttura di livello zero è
* ()/() : ()
con
* operatore binario: ": due punti" per il rapporto
* operando sinistro (dividendo): (x^2 - 3*x)/(x^2 - 1)
* operando destro (divisore): (x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3) + (9 - x)/(3*x^2 - 3))
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A livello uno ci sono due strutture: a SX ancora un rapporto (sotto forma di frazione) e a DX una somma algebrica con tre operandi da ridurre per associatività
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La struttura di livello uno a SX è
* (x^2 - 3*x)/(x^2 - 1)
con
* operatore binario: "/ slash" per il rapporto
* operando sinistro (dividendo): x^2 - 3*x = (x - 3)*x
* operando destro (divisore): x^2 - 1 = (x + 1)*(x - 1)
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La struttura di livello uno a DX è
* (x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3) + (9 - x)/(3*x^2 - 3)) =
= ((x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3)) + (9 - x)/(3*x^2 - 3))
dove la somma interna ha
* operatore binario: "- trattino" per la sottrazione
* operando sinistro (minuendo): x/(x + 1)
* operando destro (sottraendo): 2*x/(3*x - 3) = (2/3)*x/(x - 1)
e produce la differenza
* x/(x + 1) - (2/3)*x/(x - 1) =
= (x*3*(x - 1) - 2*x*(x + 1))/(3*(x + 1)*(x - 1)) =
= (x - 5)*x/(3*(x + 1)*(x - 1))
VERIFICA DI CORRETTEZZA
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+x%2F%28x%2B1%29-%282%2F3%29*x%2F%28x-1%29%3D%28x-5%29*x%2F%283*%28x%2B1%29*%28x-1%29%29
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Così si è ottenuta la somma
* (x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3) + (9 - x)/(3*x^2 - 3)) =
= ((x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3)) + (9 - x)/(3*x^2 - 3)) =
= (x - 5)*x/(3*(x + 1)*(x - 1)) + (9 - x)/(3*x^2 - 3)
con
* operatore binario: "+ più" per l'addizione
* operando sinistro (augendo): (x - 5)*x/(3*(x + 1)*(x - 1))
* operando destro (addendo): (9 - x)/(3*x^2 - 3) = (9 - x)/(3*(x + 1)*(x - 1))
che danno la somma
* ((x - 5)*x + 9 - x)/(3*(x + 1)*(x - 1)) =
= (x - 3)^2/(3*(x + 1)*(x - 1))
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CONCLUSIONE
187) (x^2 - 3*x)/(x^2 - 1) : (x/(x + 1) - 2*x/(3*x - 3) + (9 - x)/(3*x^2 - 3)) =
= (x - 3)*x/((x + 1)*(x - 1)) : (x - 3)^2/(3*(x + 1)*(x - 1)) =
= ((x - 3)*x/((x + 1)*(x - 1)))*(3*(x + 1)*(x - 1))/(x - 3)^2 =
= (x - 3)*x*3*(x + 1)*(x - 1)/((x + 1)*(x - 1)*(x - 3)^2) =
= 3*x/(x - 3)
VERIFICA DI CORRETTEZZA
https://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%28%28x%5E2-3*x%29%2F%28x%5E2-1%29%29%2F%28x%2F%28x--1%29-2*x%2F%283*x-3%29%2B%289-x%29%2F%283*x%5E2-3%29%29
se fatta preliminarmente si sarebbe chiamata CONOSCERE L'OBIETTIVO.

Bisogna scomporre i termini in fattori;

x^2 - 3x = x * (x - 3);

x^2 - 1 = (x + 1) * (x - 1); prodotto notevole, differenza di quadrati;

(1° termine) : (2° termine);

1° termine dell'espressione, diventa:

x * (x - 3) / [(x + 1) * (x - 1)] : (2° termine)

2° termine, ci vuole il minimo comune multiplo fra i tre denominatori:

(x + 1); 

3x - 3 = 3 * (x + 1);

3x^2 - 3 = 3 * (x^2 - 1) = 3 * (x + 1) *(x - 1);

mcd = 3 * (x + 1) *(x - 1);

il secondo termine diventa:

[x * 3 * (x - 1) - 2x * (x + 1) + 9 - x] / [3 * (x + 1) *(x - 1)]=

= [3x^2 - 3x - 2x^2 - 2x + 9 - x] / [3 * (x + 1) *(x - 1)] = 

= [x^2 - 6x + 9] / [3 * (x + 1) *(x - 1)] =

= (x - 3)^2 / [3 * (x + 1) *(x - 1)].

 

x * (x - 3) / [(x + 1) * (x - 1)] : [(x - 3)^2 / [3 * (x + 1) *(x - 1)] =

la divisione diventa moltiplicazione con la frazione inversa;

= x * (x - 3) / [(x + 1) * (x - 1)] * [3 * (x + 1) *(x - 1)] / (x - 3)^2;

x - 3 si semplifica;  (x + 1) * (x - 1)  si semplifica;  

=   x * 3 / (x - 3) =

3x /(x - 3).

@francescodeca  ciao.