[Risolto] Espressione seno e coseno

Ciao, ho provato a trascrivere il testo che compare nella tua foto... spero di aver capito bene!

$\cos{(\alpha+30°)}\cos{(\alpha+60°)}-\sin{(\alpha+60°)}\sin{(\alpha+30°)}+\sin{2\alpha}=$

Per svolgere questa espressione dobbiamo ricordare alcune formule utili e i seguenti risultati:

FORMULE UTILI:

$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

RISULTATI:

$\sin{30°}=\frac{1}{2}$,   $\cos{30°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin{60°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,   $\cos{60°}=\frac{1}{2}$

Ora siamo pronti per risolvere l'espressione applicando tutte le regole appena viste:

$\cos{(\alpha+30°)}\cos{(\alpha+60°)}-\sin{(\alpha+60°)}\sin{(\alpha+30°)}+\sin{2\alpha}=$

$=(\cos{\alpha}\cos{30°}-\sin{\alpha}\sin{30°})(\cos{\alpha}\cos{60°}-\sin{\alpha}\sin{60°})-(\sin{\alpha}\cos{60°}+\cos{\alpha}\sin{60°})(\sin{\alpha}\cos{30°}+\cos{\alpha}\sin{30°})+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}-\frac{1}{2}\sin{\alpha})(\frac{1}{2}\cos{\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha})-(\frac{1}{2}\sin{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha})(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\frac{1}{2}\cos{\alpha})+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=(\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha}-\frac{3}{4}\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\frac{1}{4}\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha})-(\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha}+\frac{1}{4}\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{3}{4}\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha})+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=(\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha})-(\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha})+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{4}\sin^{2}{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos^{2}{\alpha}+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=-2\sin{\alpha}\cos{\alpha}+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=$

$=0$

Spero che i passaggi siano tutti chiari! 

cos⁡(α+30°)cos⁡(α+60°)−sin⁡(α+60°)sin⁡(α+30°)+sin⁡2α = ?

E' una identità valevole per qualsivoglia valore di α ; tanto vale dare ad α il valore 0 e l'espressione diventa : 

cos 30°*cos 60° -sin 60°*sin 30°

(√3)/2*1/2 - (√3)/2*1/2 = 0

Se , per verifica, scegliamo alfa = 30°

cos 60*cos 90-sin 90*sin 60+sin 60 

-(√3)/2 + (√3)/2 = 0 

Buon Dio, che c'entra il telefono? Sei tu che inquadri il foglio da lontano, di sbieco e sfocato. Se lo rifotografi esattamente di fronte e in modo che riempia l'intero schermo messo di piatto vedrai che risulterà leggibile. In ogni caso sia per rispetto del Regolamento che per assicurazione anti equivoci da calligrafia dovresti proprio TRASCRIVERE IL TESTO e, se ti riesce, anche la formula (mettendo fra parentesi i coefficienti frazionarii e gli argomenti delle funzioni).