$ f(x) = \frac{3 \cdot 3^x - 3^{2x}}{3 \cdot3^{2x}-10\cdot 3^x+3} = -\frac{3^x(3^x - 3)}{(3^x-3)(3 \cdot 3^x-1)} $
- Dominio = ℝ\{-1, 1}
- due punti di discontinuità che derivano da $3^x \ne 3$ e da $ 3^x \ne \frac{1}{3}$
-
-
- per x = -1
- $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$
- $ \displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$
- Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = -1
-
-
- per x = 1
- $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{3}{8}$
- $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\frac{3}{8}$
- Si tratta di una discontinuità eliminabile
- Zeri = Ø. Il candidato x = 1 non appartiene al dominio.
_________-1____________1____________
+++++++++++++++++0------------------ (3*3ˣ - 9ˣ)
-------------------------------X++++++++++ (3ˣ - 3)
-------------X++++++++++++++++++++ (3*3ˣ - 1)
+++++++X----------------X------------------- f(x)
cioè
- f(x) < 0 in (-1, 1) e in (-1, +∞)
- f(x) = 0 Ø
- f(x) > 0 in (-∞, -1)
La trasformazione da utilizzare è
$ T = \left\{\begin{aligned} x' &= x \\ y' &= 2 \cdot 1 - y \end{aligned} \right. $
dalla quale ricaviamo
$ \left\{\begin{aligned} x &= x' \\ y &= 2 - y' \end{aligned} \right. $
per cui essendo la g(x) = y'
$ g(x) = 2 - \frac{3 \cdot 3^x - 3^{2x}}{3 \cdot3^{2x}-10\cdot 3^x+3} $
- Intersezioni f(x) e g(x).
Si tratta di risolvere il sistema composto dalle due funzioni, cioè
$ \left\{\begin{aligned} g(x) &= 2 - f(x) \\ g(x) &= f(x) \end{aligned} \right. $
dal quale ricaviamo
$ f(x) = 1 $ cioè
$ -\frac{3^x}{3 \cdot 3^x -1} = 1 $
$ 3^x = 1 - 3\cdot3^x$
$ 3^x = \frac{1}{4}$
$ x = log_3(\frac{1}{4}) $ cambio base per esprimere la soluzioni in termini di logaritmi naturali
$ x = -\frac{ln(4)}{ln(3)}$
Una sola intersezione come evidenzia il grafico.
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