[Risolto] Esercizio sull'iperbole. Grazie

@martynam

Ciao di nuovo.

x^2/a^2-y^2/b^2=1

è l'equazione dell'iperbole da cercare con fuochi e vertici su asse delle x (y=0)

Conosciamo

b/a = √(2/3)-------> b^2/a^2 = 2/3------> b^2 = 2/3·a^2

Deve essere: a^2 + b^2 = (-5)^2

a^2 = 25 - 2/3·a^2----> a = - √15 ∨ a = √15 cioè a^2=15

b^2 = 2/3·15------> b^2 = 10

Quindi:

x^2/15 - y^2/10 = 1

Verifico con Wolframalpha:

Che l'asintoto dato (y = √(2/3)*x) manchi di termine noto, dovendo passare per il centro dell'iperbole, indica che l'iperbole è centrata nell'origine.
Che il fuoco dato (F1(- 5, 0)) giaccia sull'asse x indica che F2, simmetrico rispetto al centro sull'asse trasverso, è F2(- 5, 0) e che l'asse non trasverso è l'asse y.
Pertanto l'iperbole richiesta deve avere la forma
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
con
* c = √(a^2 + b^2) = 5
e asintoti
* y = ± (b/a)*x = ± √(2/3)*x
il che fornisce dati sufficienti all'identificazione.
* (√(a^2 + b^2) = 5) & (b/a = √(2/3)) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (a = √15) 6 (b = √10)
da cui
* (x/√15)^2 - (y/√10)^2 = 1