Data l'equazione $\frac{x^{2}}{k+2}+\frac{y^{2}}{1-2 k}=1$, stabilisci per quali valori di $k$ :
a. rappresenta un'ellisse;
b. rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$ ed eccentricità $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\left.\left.[ a )-2<k<\frac{1}{2} ; b \right) k=0\right]$
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Livello 1
x^2/(k + 2) + y^2/(1 - 2·k) = 1
(x^2/a^2+y^2/b^2=1)
Deve essere:
{k + 2 > 0
{1 - 2·k > 0
risolvo ed ottengo: -2 < k < 1/2
--------------------------------------
Fuochi sull'asse delle x deve essere:
{k + 2 > 1 - 2·k
{-2 < k < 1/2
ossia
{k > - 1/3
{-2 < k < 1/2
quindi: - 1/3 < k < 1/2
Poi e=c/a
c = √((k + 2) - (1 - 2·k))------> c = √(3·k + 1)
a = √(k + 2)
Quindi: e = √((3·k + 1)/(k + 2))
√((3·k + 1)/(k + 2)) = √2/2-----> k = 0
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Genius II
L'equazione
* x^2/(k + 2) + y^2/(1 - 2*k) = 1
rappresenta un'ellisse se e solo se
* (k + 2 > 0) & (1 - 2*k > 0) ≡ - 2 < k < 1/2
rappresenta un'ellisse coi fuochi sull'asse x se e solo se
* 0 < 1 - 2*k < k + 2 ≡ - 1/3 < k < 1/2
e in tal caso ha
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2) =
= √((k + 2) - (1 - 2*k)) = √(3*k + 1)
* eccentricità e = c/a = √(3*k + 1)/√(k + 2)
che vale √2/2 = 1/√2 per
* (√(3*k + 1)/√(k + 2) = 1/√2) & (- 1/3 < k < 1/2) ≡
≡ ((3*k + 1)/(k + 2) = 1/2) & (- 1/3 < k < 1/2) ≡
≡ (k = 0) & (- 1/3 < k < 1/2) ≡
≡ k = 0
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Genius I
