[Risolto] Esercizio sulla funzione omografica IV liceo scientifico

NOTE PRELIMINARI
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1) Ti clicko un cuoricino come apprezzamento per aver dichiarato la classe "IV liceo scientifico".
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2) "sostituendo al prodotto xy il prodotto delle coordinate" & "sapere se è sbagliato il ragionamento"
No, non è sbagliato il ragionamento. Ciò che è sbagliato è "il prodotto delle coordinate".
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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3) "trovare l’area del triangolo con 1/2 della matrice"
Volevi dire 'determinante', vero? 1/2 della matrice è un'altra matrice, non un valore.
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2
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ESERCIZIO
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a) Per quale valore di k l'iperbole Γ
* Γ ≡ y = (2*x + k)/(2*x + 6)
passa per il punto P(1, - 3/8)?
Per ogni valore di k che sia radice dell'equazione che si ha sostituendo (1, - 3/8) a (x, y)
* - 3/8 = (2*1 + k)/(2*1 + 6) ≡ k = - 5
da cui
* Γ ≡ y = (2*x - 5)/(2*x + 6) ≡
≡ 2*x*y - 2*x + 6*y + 5 = 0
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b) Quali sono le equazioni dei suoi asintoti?
L'ascissa che azzera il denominatore e il limite all'infinito: x = - 3 ed y = 1; centro C(- 3, 1).
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D%282*x-5%29%2F%282*x--6%29
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c) Determina l'equazione della tangente nel punto di intersezione dell'iperbole con l'asse y.
* (x = 0) & (y = (2*x - 5)/(2*x + 6)) ≡ T(0, - 5/6)
* t ≡ p ≡ 2*((- 5/6)*x + 0*y)/2 - 2*(x + 0)/2 + 6*(y - 5/6)/2 + 5 = 0 ≡
≡ y = (11*x - 15)/18
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28%2811*x-15%29%2F18-y%29*x*y%3D0%2Cy%3D%282*x-5%29%2F%282*x--6%29%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-5to5
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d) Calcola poi l'area del triangolo individuato dalla tangente e dagli asintoti.
* (y = (11*x - 15)/18) & ((x + 3)*(y - 1) = 0) ≡
≡ A(- 3, - 8/3) oppure B(3, 1)
da cui
* S(ABC) = 11
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-3%2C-8%2F3%29%28-3%2C1%29%283%2C1%29

y = (2·x + k)/(2·x + 6) Le parentesi!!!!

P(1,-3/8):

- 3/8 = (2·1 + k)/(2·1 + 6)-----> - 3/8 = (k + 2)/8

risolvo: k = -5

y = (2·x - 5)/(2·x + 6)

Asintoto orizzontale: y=1

Asintoto verticale: 2·x + 6 = 0----> x = -3

Punto di tangenza T:

{y = (2·x - 5)/(2·x + 6)

{x = 0

quindi: x = 0 ∧ y = - 5/6---> T(0,-5/6)

Senza formule di sdoppiamento:

{y = (2·x - 5)/(2·x + 6)

{y = m·x - 5/6

sostituzione:

m·x - 5/6 = (2·x - 5)/(2·x + 6)

2·(x + 3)·(6·m·x - 5) = 6·(2·x - 5)

12·m·x^2 + 2·x·(18·m - 5) - 30 - 6·(2·x - 5) = 0

12·m·x^2 + 2·x·(18·m - 11) = 0

Δ/4 = 0

(18·m - 11)^2 = 0----> m = 11/18

y = 11/18·x - 5/6----> 18·y = 11·x - 15---> 11·x - 18·y - 15 = 0