[Risolto] Esercizio sulla funzione

Dati due insiemi A e B si dice funzione  da A a B una legge che ad ogni elemento dell’ insieme A associa uno ed un solo elemento di B .

1) Non è una funzione poiché ad uno stesso elemento di A (a) vengono associati due elementi distinti di b (x;y);

2) E' una funzione;

3) Non è una funzione poiché c'è un elemento di A (c) da cui non parte alcuna freccia.

Per funzione ( o applicazione ) intendiamo un legame oppure una corrispondenza che lega ogni elemento di un insieme di partenza $A$, chiamato $Dominio$, $uno$ $ed$ $un$ $solo$ elemento appartenente ad un insieme di arrivo $B$, chiamato $Codominio$. Ora per rispondere alla domanda basta vedere quale diagramma soddisfa questa definizione. Per una maggiore comprensione possiamo immaginare che le corrispondenze di ogni elemento di $A$ siano le frecce. Chiamando la nostra applicazione $f$ vogliamo verificare che il seguente diagramma risulti essere una applicazione :

$f$ $:$ $A$ $\longmapsto$ $B$  cioè :

$\forall$ $a$ $\in$ $A$ $\bigl($ $\exists!$$b$ $\in$ $B$ $\bigl($ $f$$($$a$$)$ $=$ $b$$\bigr)$$\bigr)$

Dunque quello che dobbiamo fare è, prima cosa, vedere se ogni elemento del dominio ha un corrispondente e, dopodiché, verificare che ha al massimo un corrispondente. Verifichiamo :

$1$  : Ogni elemento ha un corrispondente ma, come possiamo vedere, il primo elemento $a$ ha due corrispondenti : $x$ e $y$. Quindi non viene rispettata la definizione di funzione. Dunque possiamo dire che questa relazione non è una funzione.

$2$ : Ogni elemento ha un corrispondente e ne possiede esattamente uno. Per cui rispetta la definizione, e di conseguenza, la relazione risulta essere una funzione.

$3$  : Qui esiste almeno un elemento dell'insieme $A$ che non ha nessun corrispondente, quindi non viene rispettata la definizione di funzione.