Esercizio sul Moto Parabolico

Così come l'hai scritto, assolutamente nessuno sarebbe in grado di spiegarlo; dopo aver deciso cosa significa "oggetto" fra {ombrello, fazzoletto, libro, palla da tennis, ...} diventa una tesi di laurea e si spiega sì, ma in 150 pagine.
Io te lo posso spiegare se accetti di lanciare un punto materiale e non un oggetto.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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SVOLGIMENTO DI QUEST'ESERCIZIO
Il tuo disegno è errato: l'alzo "verso il basso" dev'essere negativo.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, 200) con velocità di modulo V = 30 e alzo θ = - 60° = - π/3 ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = 30*cos(- 60°)*t = 15*t
* y(t) = 200 + (30*sin(- 60°) - (g/2)*t)*t = 200 + (- 15*√3 - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (15*t, vy(t)) data da
* vy(t) = - 15*√3 - g*t
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"A quale distanza orizzontale l'oggetto raggiunge il suolo?"
Alla distanza x(T) = 15*T, dove T > 0 è la soluzione di
* (y(T) = 200 + (- 15*√3 - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T = 5*(√(16*g + 27) - 3*√3)/g
da cui la gittata richiesta
* x(T) = 15*5*(√(16*g + 27) - 3*√3)/g
che per il valore SI di g vale
* x(T) ~= 63.9749 ~= 64 m

Voy = -Vo*sen 60° = -15√3 m/sec 

Vox = Vo*cos 60° = 15 m/sec 

moto verticale

0-200 = Voy*t-g/2t^2

-15√3t-4,903t^2+200 = 0

tempo t =(15√3-√225*3+19,612*200)/-9,806 = 4,265 sec 

poiché il tempo t deve essere positivo e la quantità t^2 è negativa (-4,903), il segno davanti alla √ non può che essere negativo 

distanza orizz. d  = Vox*t = 4,265*15 = 64,0 m