[Risolto] Esercizio sul cerchio

@angela-ditonno 

Diametro del cerchio di cui fa parte il segmento circolare d= 2r = 2×27 = 54 cm (come hai calcolato);

per calcolare l'area puoi prendere più strade, per esempio, calcolando prima alcuni dati come segue:

corda C= 2r×sen(α/2) = 2×27×sen(60°/2) = 54×sen(30°) = 54×0,5 = 27 cm;

in effetti la formula, in questo caso, non serve poiché la corda non è altro che il lato del triangolo formato dai due raggi di 27 cm collegati agli estremi della corda (se hai fatto il disegno lo vedi meglio) con l'angolo al centro di 60° risulta chiaro che il triangolo stesso è equilatero (3 lati uguali) è così la corda risulta anch'essa 27 cm;

altezza del triangolo equilatero o distanza della corda dal centro:

h= 27√(3/4) = 27×0,866 = 23,382 cm;

infine:

area del segmento circolare:

A= r²×π×α/360° - (0,5×C×h) = 27²×π×60/360 - (0,5×27×23,382) ≅ 66,05 cm².

@angela-ditonno Per l'area del segmento circolare procederei per differenza tra l'area del settore circolare - area del triangolo isoscele (che in questo caso è equilatero) formato dai raggi e la corda.

Dunque

Per l'area del settore circolare uso la proporzione $A_c:A_S = 360:60$

da cui $A_S = A_C*60/360$

$A_S = 385,15 cm^2$

L'area del triangolo isoscele (equilatero in questo caso) non dovresti aver problemi a calcolarla (resto eventualmente a disposizione) ed a quel punto procedi a fare la differenza.

Per rispondere al secondo quesito avresti dovuto rileggere il capitolo del libro che precede la pagina da cui hai preso l'esercizio, in modo da aver presenti le definizioni.
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L'area del segmento circolare di angolo θ è la differenza fra quella del settore circolare di angolo θ e quella del triangolo isoscele con lato di base la corda "c" che delimita il segmento e lati di gamba i due raggi.
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L'area del settore circolare di angolo θ sta a quella del cerchio come θ sta all'intero giro.
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Il dato "raggio di 27 cm" dà: area del cerchio S(cerc) = π*27^2 cm^2.
Il dato "angolo ampio 60°" dà: θ/giro = 60/360 = 1/6.
La proporzione dà
* S(sett)/S(cerc) = θ/giro ≡ S(sett) = π*27^2/6 ≡ 243*π/2 cm^2.
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Il triangolo da sottrarre è equilatero, quindi
* S(tri) = (√3/4)*27^2 = 729*√3/4
E INFINE
* Area del segmento circolare = S(sett) - S(tri) = 243*(2*π - 3*√3)/4 ~= 66 cm^2.