Possiamo calcolare il campo elettrico utilizzando il principio di sovrapposizione, dunque calcolando il campo elettrico generato dal primo cilindro, in funzione della sua distanza dall'asse, il campo generato dal guscio cilindrico e poi sommando il tutto.
La prima distribuzione è un cilindro pieno.
Applichiamo il teorema di Gauss considerando una superficie cilindrica con asse coincidente con quello del cilindro e consideriamo inizialmente con raggio $r' > R$.
Abbiamo naturalmente che:
$ \Phi(E) = \frac{Q}{\epsilon_0}$
Ricaviamo facilmente che il flusso è pari a:
$Phi(E) = E(r') * 2 \pi r' h$
mentre la carica interna alla superficie considerata è tutta quella contenuta nel cilindro, dunque:
$Q_int = \rho * V = \rho * \pi R^2 *h $
Da cui, uguagliando i due membri:
$ E(r') * 2\pi r' h = \frac{\rho \pi R^2 h}{\epsilon_0}$
ricaviamo che:
$ E_1(r')= \frac{R^2 \rho}{2 r' \epsilon_0}$ con $r' \geq R$.
Consideriamo ora il caso $r' < R$ scegliendo di nuovo una superficie cilindrica coassiale.
Anche in questo caso il flusso è $Phi(E) = E(r') * 2 \pi r' h$, ma stavolta la carica contenuta all'interno della superficie non è quella contenuta in tutto il cilindro pieno, ma solo quella all'interno della superficie cilindrica, dunque:
$Q_int = \rho * V_{sup} = \rho \pi r'^2 * h$
Come prima uguagliando otteniamo:
$ E(r') * 2\pi r' h = \frac{\rho \pi r'^2 h}{\epsilon_0}$
da cui:
$ E_1(r')= \frac{r' \rho}{2 \epsilon_0}$ con $r'<R$.
Passiamo ora al guscio cilindrico. Anche stavolta applichiamo il teorema di Gauss, ma le cose sono più semplici perché all'interno del guscio sferico il campo è semplicemente nullo (la carica interna è nulla!).
All'esterno del guscio i conti sono esattamente gli stessi di prima, applicando il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica coassiale di raggio $r'' > r$. Chiaramente stavolta per trovare la carica interna usiamo la densità superficiale di carica, per cui $Q_int = \sigma * A$:
$ E * 2\pi r'' h = \frac{\pi r^2 *h * \sigma}{\epsilon_0}$
da cui:
$ E = \frac{r^2 \sigma}{2 r'' \epsilon_0}$
Sapendo che, detta r' la distanza dall'asse del primo cilindro si ha che r'' = d-r' = 50-r', possiamo sostituire:
$ E_2(r') = \frac{r^2 \sigma}{2 (50-r') \epsilon_0}$.
A questo punto non ci resta che sommare i due campi (suppongo che il campo vada calcolato in punto che si trova sulla congiungente i due centri dei cilindri ... altrimenti dovremo fare delle considerazioni anche sull'angolo).
Ricapitoliamo il valore del campo elettrico totale considerando le varie distanze possibili.
Per $r' < R$, dunque nella regione interna al cilindro pieno, abbiamo:
$E(r') = \frac{r' \rho}{2 \epsilon_0} - \frac{r^2 \sigma}{2 (50-r') \epsilon_0}$
Per $ R < r' < (50-r)$, cioè nella regione tra le due distribuzioni abbiamo:
$E(r') = \frac{R^2 \rho}{2 r' \epsilon_0} - \frac{r^2 \sigma}{2 (50-r') \epsilon_0}$
Infine per $r' > (50-r)$, dunque all'interno del guscio, abbiamo:
$E(r') = \frac{R^2 \rho}{2 r' \epsilon_0}$
Lascio a te calcolare il campo per le distanze richieste, sostituendo il valore di $r'$ con le distanze assegnate.
Noemi
