Esercizio su un sottospazio vettoriale

Problema:

Si calcoli la dimensione di $V=\{ f \in Hom(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^4 \mid f(e_1)=f(e_2), f(e_3) \in Span\{(1,2,3,4)\} \}$.

Soluzione:

Poiché la matrice rappresenta un omomorfismo da uno spazio di dimensione $3$ a uno di dimensione $4$, essa apparterrà a $M_{4,3}(\mathbb{R})$. 

Sia quindi $f\equiv \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l \end{pmatrix}$. Dalla condizione $f(e_1)=f(e_2)$ si ottiene che

$a=b$, $d=e$, $g=h$ e $j=k$, quindi vale che $f \equiv \begin{pmatrix} a & a & c \\ d & d & f \\ g & g & i \\ j & j & l \end{pmatrix}$.

Dalla seconda condizione si ottiene che 

$f(e_3)=(c, f, i, l)=(k, 2k, 3k, 4k)$ e dunque

$f \equiv \begin{pmatrix} a & a & k \\ d & d & 2k \\ g & g & 3k \\ j & j & 4k \end{pmatrix}$.

Questa tipologia di matrici è contenuta in $Span \{ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0& 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0& 0 & 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1& 1 & 0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0& 0 & 1 \\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 3 \\
0& 0 & 4
\end{pmatrix}\}$. Si può verificare che queste matrici sono linearmente indipendenti tramite l'algoritmo di Gauss e dunque formano una base. Poiché la dimensione di uno spazio è data dalla cardinalità di una sua base, vale che $\dim V =5$.