Let $\left(X,\|\cdot\|_X\right)$ and $\left(Y,\|\cdot\|_Y\right)$ be normed vector spaces over $\mathbb{F}$ and let $Z=X \times Y$ be the Cartesian product of $X$ and $Y$. This is a vector space.
(i) Show that $\|(x, y)\|_Z=\|x\|_X+\|y\|_Y$ defines a norm on $Z$.
(ii) Show that a sequence $\left\{\left(x_n, y_n\right)\right\} \subset Z$ converges to $(x, y)$ in $\mathrm{Z}$ if and only if $\left\{x_n\right\}>$ converges to $x$ in $X$ and $\left\{y_n\right\}$ converges to $y$ in $Y$.
(iii) Show that a sequence $\left\{\left(x_n, y_n\right)\right\} \subset Z$ is a Cauchy sequence in $Z$ if and only if $\left\{x_n\right\}$ is a Cauchy sequence in $X$ and $\left\{y_n\right\}$ is a Cauchy sequence in $Y$.
Buonasera a tutti, ho eseguito parte di questo esercizio e allego il mio svolgimento per avere una correzione.
per il primo punto si devono dimostrare gli assiomi della norma su uno spazio normato (che ho numerato da 1 a 4). Spero siano giusti, per il quarto punto ho dei problemi e non è terminato.
per il secondo punto ho provato a fare solo la prima implicazione e penso che l’implicazione inversa sia molto simile..
per il terzo punto invece penso si faccia come il secondo ma utilizzando la definizione di successione di cauchy..
non sono proprio abituata a svolgere questo tipo di esercizi quindi siate clementi ahah
ringrazio in anticipo tutti!
