Esercizio su ellisse

Question

Nell'ellisse di equazione x^2/36 + y^2/16 = 1, trovare le coordinate dei fuochi.

Sia A il punto dell'ellisse dei I' quadrante avente ordinata 2 rad 3. Scrivi le coordinate del punto A e l'equazione della tangente t all'ellisse in A.

Determina l'equazione della bisettrice s dell'angolo F1AF2 e verifica che è la retta perpendicolare a t in A.

Sia B il punto di intersezione di s con l'asse x. Trovare le sue coordinate. Calcolare il rapporto fra le aree dei triangoli AF1B e AF2B. Verificare che AF1: AF2 = F1B : F2B

Riposte : F1 (- 2 rad 5; 0), F2(2 rad 5 ; 0); A (3; 2 rad 3);Equazione retta t : 2x + 3 rad 3 y -24 = 0. Equazione retta s : 3 rad 3 - 2y - 5 rad 3 = 0; B (5/3 ; 0). 41 + 12 rad 5/31

Le coordinate dei fuochi e quelle del punto A le ho trovate. Ho anche provato a calcolare l'equazione della retta t mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse con quella della generica retta passante per A, ponendo il discriminante = 0, ma il risultato non combacia. Per il resto ho fatto vari tentativi che non hanno portato a nessuna soluzione.

Un sentito ringraziamento a coloro che vorranno rispondermi. Chiedo, per cortesia, soprattutto per quanto riguarda i punti non risolti, se possibile, di scrivere la motivazione dei vari passaggi e calcoli, così potrò comprendere meglio.

Autore

Risposta

Beppe

(@beppe)

1766 punti

livello:

Livello 1

1466 Risposte
536 2 924

07/06/2022 00:47

LucianoP · Accepted Answer

Ciao per la tangente in A ti conviene usare le formule di sdoppiamento.

Risolvo il problema proposto.

x^2/36 + y^2/16 = 1 si riconosce: a^2 = 36 e b^2 = 16 con a^2 > b^2

i due fuochi stanno sull'asse delle x.

c^2 = 36 - 16-----> c^2 = 20------> c = - 2·√5 ∨ c = 2·√5

Quindi F1(- 2·√5,0 ) ed F2(2·√5,0)

Coordinate di A:

{x^2/36 + y^2/16 = 1

{y = 2·√3

risolvo ed ottengo: [x = 3 ∧ y = 2·√3, x = -3 ∧ y = 2·√3]

Quindi A(3, 2·√3)

Retta t tangente in A con formule di sdoppiamento:

3·x/36 + 2·√3·y/16 = 1------> 2·x + 3·√3·y - 24 = 0

Considero poi il triangolo AF1F2

Lato AF1 = √((- 2·√5 - 3)^2 + (0 - 2·√3)^2) = √5 + 6

Lato AF2 = √((2·√5 - 3)^2 + (0 - 2·√3)^2) = 6 - √5

Il teorema della bisettrice fornisce il modo per calcolare il punto B

Lato F1F2=2·ABS(c) = 4·√5

Tale lato viene diviso in parti proporzionali al rapporto fra i lati AF1 ed AF2

Quindi procedo nel seguente modo:

√5 + 6 + (6 - √5) = 12

F1B=4·√5/12·(√5 + 6) = 2·√5 + 5/3

BF2=4·√5/12·(6 - √5) = 2·√5 - 5/3

Quindi si deduce che B(5/3,0)

Il rapporto fra le aree dei due triangoli AF1B e AF2B, avendo la stessa altezza è pari al rapporto fra le due basi calcolate:

(2·√5 + 5/3)/(2·√5 - 5/3) = 12·√5/31 + 41/31

Da ultimo l'equazione della bisettrice s:

(y - 0)/(x - 5/3) = (2·√3 - 0)/(3 - 5/3)

y = 3·√3·x/2 - 5·√3/2-----> 3·√3·x - 2·y - 5·√3 = 0

che messa a confronto con quella della tangente:

2·x + 3·√3·y - 24 = 0

risultando: 3·√3·2 - 2·3·√3 = 0

permette di dire che t ed s sono perpendicolari fra loro.

LucianoP

(@lucianop)

115470 punti

livello:

Genius III

23534 Risposte
42 7353 5662

07/06/2022 07:45

[Risolto] Esercizio su ellisse

Domande