[Risolto] Esercizio su Ellisse

Per "trovare le condizioni giuste" devi riferirti alle proprietà dell'ellisse Γ non degenere e applicarle ai dati (o viceversa?).
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Il semiasse maggiore di ogni ellisse è ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti il semiasse minore e la semidistanza focale.
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L'eccentricità di ogni ellisse è il rapporto fra semidistanza focale e semiasse maggiore.
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L'equazione di ogni ellisse con asse focale parallelo a un asse coordinato ha la forma semplificata
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
dove i parametri sono i semiassi (a, b) e le coordinate del centro C(α, β).
Se l'asse focale è parallelo all'asse x allora: 0 < b < a.
Se l'asse focale è parallelo all'asse y allora: 0 < a < b.
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Traduzione dei vincoli da descrizioni a espressioni algebriche.
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"con i fuochi sulla retta x = - 2" ≡ 0 < a < b → c = √(b^2 - a^2)
* fuochi F(- 2, yC ± c) ≡ F1(- 2, yC - c) oppure F2(- 2, yC + c)
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"fuochi distanti 4" ≡ c = √(b^2 - a^2) = 4/2 = 2
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"centro O'(- 2, 2)" ≡ Γ ≡ ((x + 2)/a)^2 + ((y - 2)/b)^2 = 1
pertanto
* fuochi F(- 2, 2 ± c) ≡ F1(- 2, 0) oppure F2(- 2, 4)
* (√(b^2 - a^2) = 2) & (0 < a < b) ≡ b = √(a^2 + 4)
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"eccentricità e = 1/2" ≡ e = c/b = 2/b = 1/2 ≡ b = 4 →
→ (b = √(a^2 + 4)) & (b = 4) & (0 < a < b) ≡ a = 2*√3
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"Scrivi l'equazione ..."
* Γ ≡ ((x + 2)/(2*√3))^2 + ((y - 2)/4)^2 = 1 ≡
≡ 4*x^2 + 3*y^2 + 16*x - 12*y - 20 = 0

Non c'é bisogno di determinare i fuochi ma se sono su una parallela all'asse y

allora il semiasse maggiore é b per cui

e = 1/2 = c/b e poiché 2c = 4

allora c = 2 e quindi 1/2 = 2/b da cui b = 4

e infine a^2 = b^2 - c^2 = 16 - 4 = 12

per cui la nostra ellisse é la traslata di

x^2/12 + y^2/16 = 1

e quindi la sua equazione é

4(x + 2)^2 + 3(y - 2)^2 = 48

4x^2 + 16x + 16 + 3y^2 - 12y + 12 - 48 = 0

4x^2 + 3y^2 + 16x - 12y - 20 = 0