[Risolto] Esercizio Serie

Giacomo buongiorno, forse la serie da te richiesta è la seguente:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (x)^{\ln (n)}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{\ln (x)}\right]^{\ln (n)}
$$
Poniamo una sostituzione per semplificare i calcoli: $y:=\frac{1}{\ln (x)}>0$
La serie iniziale, facendo questa sostituzione, diventa:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} y^{\ln (n)}
$$
Siccome [latex]y>0[/latex] poniamo $y:=e^{-\alpha}$ in modo tale si ha:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} y^{\ln (n)}=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\alpha \ln (n)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}
$$
L'ultima serie è una serie nota, ovvero si tratta della serie armonica generalizzata che converge se $\alpha>1$.
Visto che $y:=\frac{1}{\ln (x)}=e^{-\alpha}=\frac{1}{e^{\alpha}}$ ne consegue che $\ln (x)=e^{\alpha} \Rightarrow \ln [\ln (x)]=\alpha$ quindi infine la serie proposta converge per: $\ln [\ln (x)]>1 \Leftrightarrow x>e^{e} .$