La famiglia di quadriche di equazione, con k ∈ R,
* Q(k) ≡ x^2 + k*y^2 + z^2 + 2*(1 − k)*x*z + 2*k*x + 2*y − 1 = 0
ha due soli casi particolari
* k = 0: cilindro parabolico (x + z)^2 + 2*y = 1
* k = 1: sfera (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 3
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A) Matrice dei coefficienti
* A(k) = {{1, 0, (1 − k), k}, {0, k, 0, 1}, {(1 − k), 0, 1, 0}, {k, 1, 0, - 1}}
* det[A] = - (k + 2)*k
* p[A] = λ^4 - (k + 1)*λ^3 - (2*k^2 - 3*k + 3)*λ^2 + 2*(k^3 - k^2 + 2*k + 1)*λ - (k + 2)*k
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B) Matrice dei termini di grado due
* B(k) = {{1, 0, (1 − k)}, {0, k, 0}, {(1 − k), 0, 1}}
* det[B] = - (k - 2)*k^2
* p[B] = - λ^3 + (k + 2)*λ^2 + k*(k - 4)*λ - (k - 2)*k^2
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LE QUADRICHE DEGENERI DELLA FAMIGLIA (rnk[A] < 3) non le trovo; come faccio a classificarle?
Per k = - 2
* A(- 2) = {{1, 0, 3, - 2}, {0, - 2, 0, 1}, {3, 0, 1, 0}, {- 2, 1, 0, - 1}}
* det[A(- 2)] = 0
* rnk[A(- 2)] = 3
* p[A(- 2)] = (λ - 30)*λ^3
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PARABOLOIDE ELLITTICO (rnk[B] = 2) & (det[A] < 0)
* B(2) = {{1, 0, - 1}, {0, 2, 0}, {- 1, 0, 1}}
* rnk[B(2)] = 2
* A(2) = {{1, 0, - 1, 2}, {0, 2, 0, 1}, {- 1, 0, 1, 0}, {2, 1, 0, - 1}}
* det[A(2)] = - 8 < 0
* Q(2) ≡ x^2 + 2*y^2 + z^2 - 2*x*z + 4*x + 2*y - 1 = 0
al resto ci pensi da te.
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IPERBOLOIDE ELLITTICO, a due falde (rnk[B] = 3) & (det[A] < 0) & (λ[B] discordi)
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* (rnk[B] = 3) & (det[A] < 0) ≡
≡ (- (k - 2)*k^2 != 0) & (- (k + 2)*k < 0) ≡
≡ (k < - 2) oppure (0 < k < 2) oppure (k > 2)
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* p[B] = - (k + λ - 2)*(k - λ)^2 = 0 ≡
≡ (λ = 2 - k) oppure (λ = k) oppure (λ = k)
si hanno autovalori discordi per
* (2 - k)*k < 0 ≡ (k < 0) oppure (k > 2)
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* (rnk[B] = 3) & (det[A] < 0) & (λ[B] discordi) ≡
≡ ((k < - 2) oppure (0 < k < 2) oppure (k > 2)) & ((k < 0) oppure (k > 2)) ≡
≡ (k < - 2) oppure (k > 2) ≡
≡ |k| > 2
al resto ci pensi da te.
