Buongiorno,
sto svolgendo il numero 84. È corretto dire che tutti i punti per x≥5 sono di accumulazione?
ma se questo è vero tutti gli esercizi di questo blocco si risolvono cosi tenendo conto che tutti i punti appartenenti all intervallo di riferimento sono di accumulazione?
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Livello 1
Problema:
Trova i punti di accumulazione del seguente insieme:
$E=[5,+\infty)$.
Soluzione:
Lo spiego intuitivamente, prova a formalizzarlo.
Bisogna ragionare sempre sulla definizione, questa non è mai ambigua dato che costituisce le fondamenta della teoria.
Per definizione un punto di accumulazione $x_0$ è un punto tale che per ogni raggio reale $r$ strettamente positivo, $B_r(x_0) \cap (E \setminus \{ x_0\}) \neq \emptyset$. Cosa significa ciò?
Per semplicità si ragiona solo su $\mathbb{R}$ dotato dell'usuale struttura. (Esistono cose molto carine quando si esce dallo standard, ma per ora teniamole lì dove sono)
Significa che se disegni sulla retta l'insieme $E$ e fissi la punta di metallo di un compasso su un punto $x_0$ qualsiasi, qualsiasi cerchio tu farai (si considerano quelli con raggio quasi nullo di solito), questo conterrà al suo interno almeno un punto di $E$ oltre $x_0$.
Si nota subito che si possono distinguere due casi: $x_0 \in E$ e $x_0 \notin E$.
Se $x_0 \in E$, come hai detto tu, ogni punto nell'intervallo è di accumulazione, quindi i punti di accumulazione sono tutti gli $x \geq 5$.
(Formalmente si deve verificare sempre prima $(5,+\infty)$ e $x=5$, per capirne il motivo rileggi la definizione)
Se $x_0 \notin E$, in questo caso, non si ha nessun punto di accumulazione esterno dato che l'intervallo non tenta di "allungarsi" verso un $x_0$ esterno ad esso.
Se vuoi approfondire, questo articolo è ben fatto: https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/premesse-per-lanalisi-infinitesimale/56-punti-di-accumulazione.html
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Livello 6
@rebc grazie della risposta, ma io ho un problema con questo argomento, mi sembra poco pratico.
di conseguenza se ho capito bene ogni punto è di accumulazione per il proprio dominio tranne quelli che appunto non appartengono al dominio stesso?
@Max321 in realtà questo concetto si utilizza molto nella teoria (in matematica teoria=pratica dato che gli esercizi sono solo una applicazione della teoria per verificare se la si è compresa), però capisco cosa intendi con "poco pratico". Che senso ha costruire un'ascia perfetta se non si ha il legno da tagliare? La risposta varia a seconda di come la si pensa, ad esempio a un fabbricante di asce non interessa come verrà usata di solito, a lui interessa l'ascia in sé.
Interpreto ciò che hai detto considerando dominio come equivalente della parola "insieme" (un intervallo conta come insieme) dato che non ci sono in gioco delle funzioni. Se intendi altro fammelo sapere. Nel caso degli intervalli aperti (parentesi tonde, o quadre ribaltate) è vero ciò che dici, ogni punto dell'intervallo è di accumulazione; ma devi fare attenzione sui bordi, ad esempio se consideri l'intervallo $(2, 9)$, $x=2$ e $x=9$ sono anch'essi di accumulazione. Infatti se punti il compasso in $2$, qualsiasi cerchio contiene sicuramente un punto dentro l'insieme, ad esempio $x=2,000000000000000000...000000000001$, stessa cosa vale per $9$. In soldoni, il punto di accumulazione non è sempre interno ad $E$.
La questione si complica leggermente per gli insiemi formati dall'unione di più intervalli (ad esempio l'esercizio 87), in questo caso conviene analizzare caso per caso. Nel link che ti ho mandato ci sono numerosi esempi.
Ps: scusa se non sono rigorosa, ma sto evitando il rigore per dare un'idea più intuitiva; nelle verifiche devi giustificare il tutto in maniera rigorosa, il livello dipende da ciò che vuole il professore che in genere si basa su ciò scritto negli esercizi svolti del manuale adottato.
@rebc ti ringrazio davvero sei stata chiarissima. Diciamo che con l esempio del compasso sto capendo e riuscendo a risolvere gli esercizi. Quindi per l insieme (2,9) anche qui tutte 2≤x≤9 sono di accumulazione.
quindi posso estendere il ragionamento alla funzioni considerando come insieme il dominio della funzione?
ad esempio la funzione 1/(x+1) ha come dominio R-{-1} ma -1 rimane di accumulazione per il dominio (ho puntato il compasso in -1 e ho trovato infiniti valori compresi nell intorno di -1).
ho detto bene? Grazie ancora
@Max321 esatto, è corretto.
L'esempio del compasso viene dalla definizione (motivo per studiarle bene), se in futuro studierai della matematica un po' più avanzata scoprirai che "il cerchio" può essere anche una stellina a seconda della metrica utilizzata. (Spazi metrici) Inoltre ciò si estende anche a dimensione $n$. 😉
Sì, é giusto. Per x > 5 é banale.
Ma anche xo = 5 é di accumulazione perché ] 5 - d, 5 + d [ comprende anche 5 + d/2
che si trova in [5, +oo[
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Livello 7
7583
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Livello 5
Numero 84. È corretto dire che tutti i punti per x≥5 sono di accumulazione?
Si, L'insieme di punti di accumulazione ovvero l'insieme derivato D([5,+∞)) = [5,+∞)
ma se questo è vero tutti gli esercizi di questo blocco si risolvono cosi?
No, ho letto solo l'85 ma questo è sufficiente a fornire il controesempio
D((5,+∞)) = [5,+∞)
come vedi il punto 5 è incluso.
Oss. I punti di accumulazione di A non necessariamente devono essere punti dell'insieme A
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punti
Livello 6
