[Risolto] esercizio probabilità

Nella moderna grammatica italiana standard l'accento grafico sopra le vocali ha due forme grafiche e due usi: il ségnaccènto acuto ségna il suono chiuso delle vocali "e" ed "o" (paréte, versaménto, ..., medicónzolo, giallógnolo, ...); quello grave ségna il suono apèrto delle vocali "e" ed "o" (è, tònico, accènto, ...) oppure la posizione nella parola dell'accènto tònico nelle parole non piane.
BASTA COSI': NON ESISTONO ALTRI CASI.
Scrivere "é", "probabilitá", "piú" NON E' ITALIANO.
Oltretutto, a parte la copula, sarebbe fisicamente impossibile pronunziare una "a" chiusa o una "u" più chiusa di quanto non sia di per se stessa.
C'era un professore (non dico chi) che, nel foglio delle istruzioni per la redazione della tesi, specificava che non si sarebbe potuto laureare chi avesse consegnato una tesi contenente un accento sbagliato!
-----------------------------
ESERCIZIO
"... o rossi altrimenti" ≡
≡ evento elementare binario → processo bernoulliano → distribuzione binomiale
Il modello generale della distribuzione binomiale dice che la probabilità d'ottenere k successi su n prove ripetute è
* P(X = k) = (C(n, k))*(p^k)*q^(n - k)
con
* 0 <= k <= n
* C(n, k) = n!/(k! * (n - k)!) = combinazioni di classe k fra n oggetti
* p = probabilità di successo dell'evento elementare
* q = 1 - p = probabilità d'insuccesso
---------------
Per costruire il modello della situazione a partire da quello generale occorre e basta fissare i valori dei due parametri (n, p).
=============================
RISPOSTE AI QUESITI (bianchi 40% = 2/5; 60% = rossi 3/5)
-----------------------------
QUESITO A: "con 5 semi, esattamente 3 fiori rossi"
* p = 3/5
* q = 2/5
* n = 5
* k = 3
* P(X = 3) = (C(5, 3))*((3/5)^3)*(2/5)^(5 - 3) =
= 216/625 = 0.3456 ~= 35%
-----------------------------
QUESITO B: "con 5 semi, almeno 3 fiori bianchi"
* p = 2/5
* q = 3/5
* n = 5
* k = 3 oppure k = 4 oppure k = 5
Qui conviene prima tabulare la binomiale {k, P(X = k)} per
* P(X = k) = (C(5, k))*((2/5)^k)*(3/5)^(5 - k) =
= (C(5, k))*(2^k)*3^(5 - k)/3125
cioè
* {{0, 243/3125}, {1, 162/625}, {2, 216/625}, {3, 144/625}, {4, 48/625}, {5, 32/3125}}
e poi formare
* P(X > 2) = 144/625 + 48/625 + 32/3125 = 992/3125 = 0.31744 ~= 32%
-----------------------------
QUESITO C: "una o piú con fiori rossi" ≡ non zero successi
* p = 3/5
* q = 2/5
* n = x
* k > 0
* P(X > 0) = 1 - P(X = 0) =
= 1 - (2/5)^x
perché
* P(X = 0) = (C(x, 0))*((3/5)^0)*(2/5)^(x - 0) = (2/5)^x
quindi la risposta è la soluzione della disequazione
* 1 - (2/5)^x > 4/5 ≡
≡ (2/5)^x < 1/5 ≡
≡ x > ln(5)/(ln(5) - ln(2)) ~= 1.76
BISOGNA PIANTARE ALMENO DUE SEMI.

@junjules

Ciao e buona sera. Il problema richiede la conoscenza della distribuzione binomiale discreta che fa capo al problema delle prove ripetute. Con essa si stabilisce il valore di probabilità su esperimenti fra loro indipendente. La variabile aleatoria X indica il numero k di successi su n prove indipendenti. 

P(x=K) indica la probabilità che su n prove di questo tipo esattamente K siano successi.

In questo caso è consuetudine chiamare con

p= probabilità di successo = 0,4=40%= la probabilità di avere fiori bianchi da un seme

q= probabilità di fallimento =0,6=60%= la probabilità di avere fiori rossi da un seme

Se si piantano 5 semi, vuol dire che si sono fatte 5 prove indipendenti (quindi n=5).

Per rispondere alle domande poste bisogna quindi considerare la distribuzione binomiale:

P(X=k)=comb(n,K)*p^k*q^(n-k) con X=0;1;2;3;4;5.

Nel nostro caso si ha:

COMB(5, k)·0.4^k·0.6^(5 - k)

quindi la seguente distribuzione:

COMB(5, 0)·0.4^0·0.6^(5 - 0) =243/3125

COMB(5, 1)·0.4^1·0.6^(5 - 1)=162/625

COMB(5, 2)·0.4^2·0.6^(5 - 2)=216/625

COMB(5, 3)·0.4^3·0.6^(5 - 3)=144/625

COMB(5, 4)·0.4^4·0.6^(5 - 4)=48/625

COMB(5, 5)·0.4^5·0.6^(5 - 5)=32/3125

Deve essere:

243/3125 + 162/625 + 216/625 + 144/625 + 48/625 + 32/3125 = 1

Quindi rispondiamo alle domande:

a) 3 piante con fiori rossi? Quindi 2 esattamente bianchi!

P(X=2)=COMB(5, 2)·0.4^2·0.6^(5 - 2)=216/625

b) almeno 3 piante con fiori bianchi?

P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=144/625 + 48/625 + 32/3125 = 992/3125

c) Quanti semi bisogna piantare affinché la probabilitá di avere una o piú piante con fiori rossi sia maggiore dell’80%? Quindi possiamo considerare l'evento con probabilità:

1 - 0.4^x > 0.8

0.4^x < 0.2

x > LN(5)/LN(5/2)-------->x > 1.756470797

Bisogna piantare almeno 2 semi.

Pr [b] = 0.4   e Pr [ r ] = 0.6

é una binomiale di parametri n = 5 e p = 0.6 (rosso)

a) Pr [ R = 3 ] = Pr [ Bin(5, 0.6) = 3 ] = C(5,3) * 0.6^3 * 0.4^2 = 10*0.216 * 0.16 = 0.3456

b) Pr [ 3+ b ] = Pr [ R <= 2 ] =

= C(5,0) * 0.6^0 * 0.4^5 + C(5,1) * 0.6^1 *0.4^4 + C(5,2) * 0.6^2*0.4^3 =

= 0.4^5 + 3*0.4^4 + 3.6*0.4^3 = 0.3174

c) Pr [ R >= 1 ] = 1 - Pr [ R = 0 in n prove ] = 1 - 0.4^n > 0.8

0.4^n < 0.2

n> log 0.2/log 0.4 = 1.76 => n >= 2