[Risolto] esercizio parabola e tangenti

y = a·x^2 + b·x + c è la parabola da trovare.

Il passaggio per i due punti dati impone che:

{0 = a·1^2 + b·1 + c

{-3 = a·4^2 + b·4 + c

Quindi si risolve il sistema:

{a + b + c = 0

{16·a + 4·b + c = -3

che fornisce: [a = (c - 1)/4 ∧ b = (1 - 5·c)/4] 

Determino quindi retta tangente in T(4,-3) con  m = -4:

y + 3 = - 4·(x - 4)----> y = 13 - 4·x

A questo punto, tramite formule di sdoppiamento, determino la retta tangente in T alla parabola:

y = (c - 1)/4·x^2 + (1 - 5·c)/4·x + c

quindi, l'applicazione di esse, porta a scrivere:

(y - 3)/2 = (c - 1)/4·(4·x) + (1 - 5·c)/4·((x + 4)/2) + c

svolgendo i calcoli si ha:

y = x·(3·c - 7)/4 - 3·c + 4

Deve essere perciò:

{(3·c - 7)/4 = -4

{4 - 3·c = 13

che fornisce: c = -3 (in entrambi i due casi)

Quindi si ottiene la parabola: y = (-3 - 1)/4·x^2 + (1 - 5·(-3))/4·x + -3

y = - x^2 + 4·x - 3

Il punto P si riconosce subito per questioni geometriche : P(3,0) e quindi  Q:

(y - 0)/(x - 1) = (-3 - 0)/(4 - 1)---> y = 1 - x---->Q(3,-2)

Rimane in sospeso l'ultimo punto. Spero in giornata di mandarti il procedimento risolutivo, visto che ho un po' di cose da fare oggi.

Rispondo punto C (ultimo punto)

Prendo come generatrici del fascio la parabola trovata e la retta tangente:

{x^2 - 4·x + y + 3 = 0

{4·x + y - 13 = 0

Faccio combinazione lineare e tale fascio lo metto a sistema con asse delle x :

{x^2 - 4·x + y + 3 + k·(4·x + y - 13) = 0

{y = 0

procedo per sostituzione:

x^2 - 4·x + 0 + 3 + k·(4·x + 0 - 13) = 0

x^2 + x·(4·k - 4) - 13·k + 3 = 0

applico la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(2·k - 2)^2 - (3 - 13·k) = 0

(4·k^2 - 8·k + 4) - (3 - 13·k) = 0

4·k^2 + 5·k + 1 = 0

risolvo ed ottengo:

k = - 1/4 ∨ k = -1

per k = - 1/4

x^2 - 4·x + y + 3 + (- 1/4)·(4·x + y - 13) = 0

(4·x^2 - 20·x + 3·y + 25)/4 = 0

4·x^2 - 20·x + 3·y + 25 = 0------> y = - 4·x^2/3 + 20·x/3 - 25/3

Per k=-1 ottengo  2 rette coincidenti

 

 

 

 

Svolgo l'ultimo punto:

@lollof 

 

Coefficiente angolare della retta t tangente il fascio in B

m= - 4

 

Coefficiente angolare della retta tangente la conica nel generico punto 

m_t= 2*a*x0 + b

 

Il punto di tangenza è B=(4;-3)

Quindi:

m_t = 2*a*4 + b = - 4

b= - 4 - 8a

 

Il punto B appartiene alla parabola: la condizione di appartenenza del punto alla conica mi fornisce la seconda condizione :

-3 = 16a + 4b + c

 

Sostituendo il valore di b precedentemente trovato:

c= 13+ 16a

 

Il fascio di parabole ha equazione:

y= ax² + x*(-4 - 8a) + (13 + 16a)

 

La parabola del fascio con vertice sull'asse x si determina imponendo la condizione che l'ordinata del vertice sia zero. 

(soluzioni reali coincidenti della relativa equazione di secondo grado) 

 

D=0 =>

16+64a²+64a-52a-64a²=0

12a + 16 = 0

a = - 4/3

 

Per sostituzione determino b e c

b= - 4 - 8a = - 4 + 32/3 = 20/3

c = 13+16a = 13 - 64/3 = - 25/3

 

Quindi la parabola ha equazione:

y= - (4/3)x² + (20/3)x - (25/3)

 

 

 

a) Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
* m(x) = 2*a*(x - w)
* A(1, 0): 0 = h + a*(1 - w)^2
* B(4, - 3): - 3 = h + a*(4 - w)^2
* m(4) = 2*a*(4 - w) = - 4
* (2*a*(4 - w) = - 4) & (0 = h + a*(1 - w)^2) & (- 3 = h + a*(4 - w)^2) ≡
≡ (a = - 1) & (h = 1) & (w = 2)
* y = 1 - (x - 2)^2 ≡ y = - (x - 1)*(x - 3) ≡
≡ Γ ≡ y = - x^2 + 4*x - 3
---------------
La retta t tangente Γ in B è
* t ≡ y = - 4*(x - 4) - 3 ≡ y = 13 - 4*x
------------------------------
b) La corda AB è il segmento
* s ≡ (y = 1 - x) & (1 <= x <= 4)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x%5E2--4*x-3%2Cy%3D13-4*x%2Cy%3D1-x%5Dx%3D-1to5
---------------
La retta parallela all'asse y è
* r ≡ (x = k) & (1 < k < 4)
---------------
I punti P e Q sono le intersezioni
* (x = k) & (y = - x^2 + 4*x - 3) & (1 < k < 4) ≡ P(k, - k^2 + 4*k - 3)
* (x = k) & (y = 1 - x) & (1 < k < 4) ≡ Q(k, 1 - k)
---------------
Il triangolo APQ ha
* base b = |PQ| = yP - yQ = - k^2 + 4*k - 3 - (1 - k) = - (k - 1)*(k - 4)
* altezza h = |Ar| = k - xA = k - 1
* area S(APQ) = b*h/2 = - (k - 1)*(k - 4)*(k - 1)/2
* (- (k - 1)*(k - 4)*(k - 1)/2 = 2) & (1 < k < 4) ≡
≡ k = 3
da cui
* P(3, - 3^2 + 4*3 - 3) = (3, 0)
* Q(3, 1 - 3) = (3, - 2)
------------------------------
c) Tu dici "Per il punto c non so proprio come fare" ed hai ragione.
Sono andato a leggere il testo 519 originale e dice proprio come hai trascritto tu: propone un problema indeterminato (supponendo che esista UN fascio, ma non almeno uno: ne suppone uno solo!), ma pretende di ottenerne il risultato unico y = - (4/3)*(x - 5/2)^2.
Poi può certamente darsi il caso che tuffandosi nei calcoli alla fine il problema si riveli invece determinato; solo che i calcoli non si possono impostare dalla consegna "Scrivi l'equazione del fascio".
---------------
Senza supporre l'esistenza del fascio, tutte le parabole
* Γ ≡ p(x, y) = 0
tangenti in B(4, - 3) alla retta
* t ≡ y = 13 - 4*x
sono tali che il sistema MOSTRO
* M ≡ t & Γ ≡ (y = 13 - 4*x) & (p(x, y) = 0)
ha un'unica soluzione doppia in B.
---------------
La parabola generica ha cinque parametri, non solo tre,
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
sostituendo (13 - 4*x) per y si ha la risolvente R di M
* R ≡ (u*x + v*(13 - 4*x))^2 + a*x + b*(13 - 4*x) + c = 0 ≡
≡ ((u - 4*v)^2)*x^2 + (a - 4*b + 26*(u - 4*v)*v)*x + (13*b + c + 169*v^2) = 0
---------------
Il seguito, che nemmeno m'azzardo ad affrontare, è un incubo non solo di dattilografia: proprio di algebra!
* Calcolare il discriminante in x di R e azzerarlo: Δ(R) = 0.
* Calcolare la radice doppia X di R.
* Calcolare Y = 13 - 4*X.
* Risolvere il sistema (Δ(R) = 0) & (X = 4) & (Y = - 3) per a, b, c REALI.
* Sostituire {a, b, c} in Γ riducendo a due i parametri liberi (non è ancora un fascio!).
* Calcolare il vertice V(xV, yV), con xV(u, v) e yV(u, v).
* Risolvere l'equazione yV(u, v) = 0:
** se la soluzione determina entrambi i parametri, aveva ragione il 519: EVVIVA!
** se, com'è il mio sospetto, se ne determina uno solo allora finalmente Γ è un fascio: quello delle infinite parabole che soddisfanno al quesito c.

 

Ma P come fai a dire con certezza che sia lì, ad ordinata 0 ?

Rispondo alla tua domanda. Ho tre punti:

[1, 0] punto A

[x, - x^2 + 4·x - 3] punto P della parabola

[x, 1 - x]punto Q sulla retta AB

[1, 0]

Per calcolare l'area di APQ utilizzo la formula:

Α = 1/2·ABS(1·(- x^2 + 4·x - 3) + x·(1 - x) + x·0 - (1·(1 - x) + x·(- x^2 + 4·x - 3) + x·0))

(procedimento della allacciatura di scarpa)

Sviluppo A =2:

ABS(x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4) = 4

che equivale a scrivere:

x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4 = -4  v  x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4 = 4

Vediamo la prima:

x^3 - 6·x^2 + 9·x - 4 = -4----> x^3 - 6·x^2 + 9·x = 0

quindi già da qui: x·(x - 3)^2 = 0

x = 3 ∨ x = 0 la seconda si scarta da cui i punti P e Q.