[Risolto] Esercizio n. 208 sul teorema della secante e della tangente

Dire a me "non usare la trigonometria" vuol dire sfondare porte aperte.
Per risolvere il problema posto, sotto cortina fumogena, da quest'esercizio dovrebbero bastare un accurato disegno dei due triangoli e i Teoremi sui triangoli rettangoli (di Pitagora e/o di Euclide).
Già il solo vedere "25/24" fa venire in mente la terna pitagorica (7, 24, 25).
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Il triangolo AOB ha, per costruzione, un angolo retto in B (punto di tangenza) e l'ipotenusa AO che sta al cateto OB come 25 a 24 (e al cateto AB come 25 a 7); il punto C è il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa che divide quest'ultima nelle proiezioni AC di AB e CO di OB (|OB| = r è l'unità di misura, o 24 volte: a scelta.).
Quindi si tratta solo di risolvere un triangolo rettangolo di cui sono dati i lati a <= b < c
* (a, b, c) = (7, 24, 25)*r/24
e quindi l'area
* S(AOB) = a*b/2 = (7*24/2)*(r/24)^2 = (7/48)*r^2
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Si ha
* a = |AB| = 7
* b = |OB| = 24
* c = |AO| = p + q = 25
* p = |AC| = a^2/c = 7^2/25 = 49/25
* q = |CO| = b^2/c = 24^2/25 = 576/25
* h = |BC| = a*b/c = 7*24/25 = 168/25
* S(ACB) = p*h/2 = ((49/25)*(168/25)/2)*(r/24)^2 = (343/30000)*r^2
* k = S(AOB)/S(ACB) = ((7/48)*r^2)/((343/30000)*r^2) = 625/49 = (25/7)^2
cioè
Il rapporto fra le aree di triangoli simili è il quadrato del loro rapporto di similitudine.

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