[Risolto] esercizio matematica (472)

1/x  + 1/(x + 1) = 11/30

mcm = x * (x + 1) *30;

30 * (x + 1) + 30 * x = 11 * x * (x + 1);

30 x + 30 + 30 x = 11 x^2 + 11 x;

11 x^2 - 30 x - 30 x + 11 x - 30= 0;

11x^2 - 49 x - 30 = 0;

x = [49 +- radice(49^2 + 4 * 11 * 30)] /22;

x = [49 +- radice(3721)]/22;

[scartiamo il valore negativo non intero (49 - 61) /22]

x = [49 +- 61] /22;

x = (49 + 61) /22 = 110/22 = 5;

x + 1 = 6.

1/(x+1)+1/x = 11/30

(x+1+x)/(X^2+x) = 11/30

(x^2+x)*11 = (x+1+x)*30

11x^2+11x = 60x+30

11x^2-49x-30 = 0

x = (49+√49^2+120*11)/22 = 5,00

x+1 = 5,00+1 = 6,00 

Gl'interi consecutivi non nulli siano (k, k + 1), da trovare in funzione della somma degl'inversi
* s = 1/k + 1/(k + 1) = (2*k + 1)/(k^2 + k) ≡
≡ s*(k^2 + k) - (2*k + 1) = 0 ≡
≡ s*k^2 + (s - 2)*k - 1 = 0 ≡
≡ k^2 + ((s - 2)/s)*k - 1/s = 0
Per
* s = 11/30
si ha
* k^2 + ((11/30 - 2)/(11/30))*k - 1/(11/30) = 0 ≡
≡ k^2 - (49/11)*k - 30/11 = 0 ≡
≡ (k + 6/11)*(k - 5) = 0 ≡
≡ (k = - 6/11 [non intero]) oppure (k = 5)
Quindi
* (k, k + 1) = (5, 6)

Propongo una soluzione non convenzionale comunque corretta.

Si compone di una parte intuitiva e di una verifica che costituisce la vera dimostrazione.

Considerazioni euristiche.

• Il reciproco del numero naturale ha la forma 1/n
• Se la somma dei due numeri è una frazione positiva il maggiore dei due è positivo, in questo caso lo sarà anche l'altro.
• Se il prodotto dei due numeri consecutivi vale 30 i due numeri non possono che essere +5 e +6.

Questa ovviamente non è una dimostrazione ma la verifica lo sarà

1/5+1/6 = (6+5)/30 = 11/30

Ho così dimostrato che i due numeri sono 5 e 6.

A volte questa procedura è l'unica praticabile nel calcolo di alcuni integrali.