[Risolto] Esercizio Matematica

Un enunciato che pone sei problemi più che un esercizio è un compito in classe.
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1) Retta congiungente A(1, 0) a B(3/2, - 1)
* s ≡ 2*x + y - 2 = 0
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2) Con
* r ≡ x + y - 2 = 0
si forma il fascio generato da r e s
* r(a, b) ≡ a*(x + y - 2) + b*(2*x + y - 2) = 0 ≡
≡ (a + 2*b)*x + (a + b)*y - 2*(a + b) = 0
e se ne esaminano i casi particolari
* r(- 2*b, b) ≡ y = 2
* r(- b, b) ≡ x = 0
trovando che è il fascio proprio di tutte e sole le rette per il centro C(0, 2)
* (x = 0) oppure (r(k) ≡ y = 2 + k*x)
fra cui le sole r(k) con k != 0 formano con gli assi coordinati un triangolo non degenere di vertici
* O(0, 0), X(- 2/k, 0), Y(0, 2)
con
* ipotenusa √((- 2/k)^2 + 2^2) = 2*√(1 + 1/k^2)
* perimetro p = 2*(1 - 1/|k| + √(1 + 1/k^2))
* area S = 2/|k|
* baricentro G = ((0, 0) + (- 2/k, 0) + (0, 2))/3 = (- 2/(3*k), 2/3)
* circumcentro K = ((- 2/k, 0) + (0, 2))/2 = (- 1/k, 1)
* incentro I(u, |u|)... be', ci vuole un po'!
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La distanza da I ad r(k) dev'essere |u|, come dagli assi coordinati.
* (√((k*u - |u| + 2)^2/(k^2 + 1)) = |u|) & (k*u < 0) ≡
≡ (k < 0) & (u = - 1/k + 1 ± √(1 + 1/k^2)) oppure (k > 0) & (u = - 1/k - 1 ± √(1 + 1/k^2))
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3) area 4
* S = 2/|k| = 4 ≡ k = ± 1/2
* r(- 1/2) ≡ y = 2 - x/2
* r(+ 1/2) ≡ y = 2 + x/2
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4) baricentro nel punto di coordinate (-1/3,2/3)
* G = (- 2/(3*k), 2/3) = (- 1/3, 2/3) ≡ k = 2
* r(2) ≡ y = 2*(1 + x)
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5) circocentro nel punto di coordinate (1/2,1)
* K = (- 1/k, 1) = (1/2, 1) ≡ k = - 2
* r(- 2) ≡ y = 2*(1 - x)
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6) incentro nel punto di coordinate (1/2,1/2)
"I" nel primo quadrante vuol dire k < 0
* (k < 0) & (u = - 1/k + 1 ± √(1 + 1/k^2) = 1/2) ≡
≡ (k < 0) & ((- 1/k + 1 - √(1 + 1/k^2) = 1/2) oppure (- 1/k + 1 + √(1 + 1/k^2) = 1/2)) ≡
≡ (k < 0) & (k = - 4/3) oppure (impossibile)) ≡
≡ k = - 4/3
* r(- 4/3) ≡ y = 2*(1 - 2*x/3)
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-2%29%5E2%3Dx%5E2%2F4%2C%28y-2%29%5E2%3D4*x%5E2%2Cy%3D2*%281-2*x%2F3%29%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C%28y-2%29%5E2%3Dx%5E2%2F4%2C%28y-2%29%5E2%3D4*x%5E2%2Cy%3D2*%281-2*x%2F3%29%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-1to2