Sfrondando l'esercizio dalle chiacchiere della descrizione in narrativa ci si riduce a pochi dati e una richiesta.
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PROBLEMA
Date le rette
* r ≡ 6*x - 7*y + 50 = 0 ≡ y = 2*(3*x + 25)/7
* s ≡ 3*x + 19*y + 115 = 0 ≡ y = - (3*x + 115)/19
che s'intersecano in
* r & s ≡ (y = 2*(3*x + 25)/7) & (y = - (3*x + 115)/19) ≡ C(- 13, - 4)
si chiede di trovare la retta AB congiungente due altri punti, A(a, p) e B(b, q), tali che
* a + b - 13 = p + q - 4 = 0 ≡
≡ (a + b = 13) & (p + q = 4)
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L'insieme di "zona ZTL di forma triangolare", "origine nel centro della piazza" e "il centro della piazza è il baricentro della zona ZTL" vuol dire che la media delle tre coordinate omologhe dei vertici ABC dev'essere zero e, se è zero, è superfluo dividere per tre: basta azzerare le due somme.
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ATTENZIONE
Dopo solo un pezzettino di risoluzione mi sono accorto che, così come hai scritto, il problema è indeterminato per carenza di vincoli. Hai dimenticato di scrivere qualche frase o l'hai trascurata perché ti sembrava superflua? Oppure il testo è proprio così e i risultati attesi sono le espressione delle molteplici infinità di rette che possono rappresentare la terza via?
Nel dubbio io ti mostro lo svolgimento di quest'ultimo caso.
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RIPASSO
La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) ha varie espressioni.
1) per a = b: AB ≡ x = a
2) per p = q: AB ≡ y = p
3) per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
4) per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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RISOLUZIONE
Si esclude il caso tre della retta per l'origine in quanto il baricentro dev'essere all'interno del triangolo, non su un lato.
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Caso #1
* a + a - 13 = p + q - 4 = 0 ≡ (a = 13/2) & (q = 4 - p)
La terza via è x = 13/2 e i vertici della piazza possono essere ovunque su di essa purché la somma delle loro ordinate sia quattro.
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Esempio
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-13%2C-4%29%2813%2F2%2C-5%29%2813%2F2%2C9%29centroid
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Caso #2
* a + b - 13 = p + p - 4 = 0 ≡ (p = 2) & (b = 13 - a)
La terza via è y = 2 e i vertici della piazza possono essere ovunque su di essa purché la somma delle loro ascisse sia tredici.
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Esempio
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-13%2C-4%29%28-7%2C2%29%2820%2C2%29centroid
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Caso #4
* (a + b = 13) & (p + q = 4) & (y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)) & (a != b) ≡
≡ (y = ((p - 2)*x + 2*a - (13/2)*p)/(a - 13/2)) & (a != 13/2) & (p != 2) & (p != (4/13)*a)
perché
* per a = 13/2 o per p = 2 si ricadrebbe nei casi già discussi;
* per p = (4/13)*a si avrebbe la terza via per il centro della piazza.
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Dire che la terza via ha la forma
* y = ((p - 2)/(a - 13/2))*x + (2*a - (13/2)*p)/(a - 13/2)
non è molto perspicuo, ma lo diventa facendo caso al fatto che, per qualsiasi valore della coppia (a, p), ciascuna di queste rette passa per K(13/2, 2) e che quindi è rappresentabile come
* y = 2 + k*(x - 13/2)
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Dopo tutta questo po' po' di svolgimento TI LASCIO TUTTO IL PIACERE di riassumere, completare e precisare a modo tuo ciò che vorrai scrivere sul tuo Quaderno delle Vacanze.
