Determina $\overline{A P}=x$ affinché l'area del quadrilatero $A P Q C$ in figura sia maggiore di $40 cm ^{2}$.
$$
\left[\frac{4}{3} \cdot<x<\frac{16}{3}\right]
$$
Determina $\overline{A P}=x$ affinché l'area del quadrilatero $A P Q C$ in figura sia maggiore di $40 cm ^{2}$.
$$
\left[\frac{4}{3} \cdot<x<\frac{16}{3}\right]
$$
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Livello 1
Area triangolo (ABC) = 16^2 /2 = 128 cm^2; (metà quadrato).
Area triangolino(BPQ) = (16 - x) * (16 - 3x) / 2 = (256 - 48x - 16x + 3x^2) / 2;
Area ABC - Area BPQ = Area quadrilatero APQC.
Il lato CQ = 3x deve essere minore di 16 cm;
3x < 16 cm; (prima c0ndizione).
128 - (256 - 64x + 3x^2) / 2 > 40 cm^2; [moltiplico tutto per il denominatore 2].
256 - 256 + 64x - 3x^2 > 80;
64x - 3x^2 > 80;
64x - 3x^2 - 80 > 0;
Cambio segno, cambia il verso della disuguaglianza:
3x^2 - 64x + 80 < 0;
radici dell'equazione:
x = [32 +- radice(32^2 - 240) ] / 3;
x = [32 +- radice(784)]/3;
x = [32 +- 28] /3;
x1 = 60/3 = 20 cm > 16 cm (lato quadrato);
x2 = 4/3;
il lato del quadrilatero non deve superare L = 16 cm;
3x < 16;
x < 16/3;
x è compreso fra le due soluzioni 4/3 e 16/3.
4/3 < x < 16/3.
Ciao @clio
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Genius II
@mg Ciao!
È passato molto tempo dalla tua risposta, ma vorrei comunque chiederti se mai potesse essere giusto un ragionamento alternativo per l’esercizio in questione.
io ho impostato una disequazione per la quale ponevo (16-X)(16-3x)/2 cioè l’area del triangolo minore di 88, ci sono arrivato considerando il triangolo ABC di area 128, il risultato viene però non saprei se il ragionamento è giusto oppure un caso, perché nonostante mi venga a pensarci mi sembra strano che possa essere giusta, visto che consideravo un solo triangolo di cui davo per scontate le grandezze.
Sono sicuro che riusciresti ad aiutarmi se dovessi vedere questa domanda! In ogni caso grazie.
@kado.s il tuo ragionamento è corretto. Area(ABC) - Area(BPQ) > 40;
128 - Area(BPQ) > 40;
- Area(BPQ) > 40 - 128;
Area(BPQ) < 88;
è la stessa disequazione.
(16 - x) * (16 - 3x) / 2 < 88; (256 - 48x - 16x + 3x^2) / 2 < 88;
256 - 64x + 3x^2 < 88 * 2; 3x^2 - 64 x + 256 - 176 = 0;
3x^2 - 64x + 80 < 0
POSSIAMO CALCOLARE L'AREA COLORATA COME SOMMA DELL'AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE E DI UN TRAPEZIO AVENTE BASE MINORE = X, BASE MAGGIORE = 3X
Intersecando la soluzione trovata con i vincoli geometrici
{4/3 < x < 20
{x> 0
{3x < 16 - - > x< 16/3
si determinano i valori di x che soddisfano la condizione richiesta:
4/3 < x < 16/3
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Genius II
area colorata = 16^2/2-(16-x)(16-3x)/2
80 = 256-256+48x+16x-3x^2
3x^2-64x+80 = 0
x = (64±√64^2-12*80)/6 = 64±56/6 = 4/3 ; 60/3
60/3 non è una soluzione accettabile in quanto 3x deve essere < 16 e, pertanto, x < 16/3
4/3 < x < 16/23
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Genius III
Accidenti! Non hai tenuto presente la condizione: 3x<16. Come è possibile? Buona serata.
@LucianoP....mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa 😌...Grazie della segnalazione e buona Domenica
Buona Domenica pure a te. Ciao.
Nel semiquadrato di lato L = 16 cm si ritaglia il quadrilatero APQC, che rimane tale a patto che sussistano due condizioni
* |BQ| = L - 3*x > 0 ≡ x < L/3
* |AP| = x > 0
Nell'intervallo
* 0 < x < L/3
l'area S di APQC è la differenza fra quella del semiquadrato (L^2/2) e quella di PBQ, il semiprodotto dei cateti ((L - x)*(L - 3*x)/2 = (3/2)*x^2 - 2*L*x + L^2/2)
* S(x) = (4*L - 3*x)*x/2
che, per L = 16 cm, diventa
* S(x) = 32*x - (3/2)*x^2 cm^2
------------------------------
Si ha
* (S(x) = 32*x - (3/2)*x^2 > 40 cm^2) & (0 < x < 16/3 cm) ≡
≡ (4/3 < x < 20) & (0 < x < 16/3 = 5.(3)) ≡
≡ 4/3 < x < 16/3
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Genius I