[Risolto] Esercizio LUOGO GEOMETRICO

occhio ai calcoli, il problema ti chiede di trovare il luogo geometrico dei punti che hanno costante la differenza della distanza da F1 e da F2, quindi:

1) non ti importa sapere che è un iperboloide, il libro te lo dice per curiosità, ma la sua equazione ti salterà fuori dai calcoli anche se non sai che oggetto sia

2) non ti serve calcolare la distanza F1F2 perchè non è quello ti viene chiesto, ora mi spiego meglio

 

preso un generico punto A(x,y,z) vuoi che la sua distanza da F1 e quella da F2 sottratte facciano 8, quindi ciò che devi impostare è F1A - F2A = 8

Svolgendo i conti ti salterà fuori l'equazione che cerchi, senza che tu sappia cosa sia un iperboloide

Ti imposto l'inizio:

F1= rad[ (x+5)^2 +y^2 +z^2 ]

F2= rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

quindi sostituendo in F1A - F2A = 8 ottieni:

rad[ (x+5)^2 +y^2 +z^2 ] - rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ] = 8

 

Parliamo di un'equazione con le radici quindi devi isolarne una:

 

rad[ (x+5)^2 +y^2 +z^2 ]= 8 + rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

 

Elevi alla seconda e ne isoli un'altra:

(x+5)^2 +y^2 +z^2 = 64 + (x-5)^2 + y^2 + z^2 + 16*rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

 

 20x - 64 = 16*rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

semplifico ed elevo ancora alla seconda:

5x - 16 = 4*rad[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

 

25x^2 + 256 -160x = 16[ (x-5)^2 + y^2 + z^2 ]

 

Da qui in poi puoi proseguire tranquillamente da solo e se semplifichi tutto ciò che è superfluo arriverai al risultato

1) "È corretto il modo in cui sto procedendo" NO, PER UN PAIO DI MOTIVI.
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Primo motivo) Non stai procedendo affatto, hai solo impostato un calcolo errato: quello che hai scritto è la formula della distanza fra i punti F1 ed F2 dati con coordinate simboliche.
Peccato che essi in realtà siano dati con coordinate numeriche
* F(- 5, 0, 0)
* F(+ 5, 0, 0)
e che la loro distanza è, di fatto, DIECI. Non puoi nemmeno immaginare di riuscire a imporre che sia OTTO, come hai scritto in alto a destra.
Il teologo gesuita padre Filippo Selvaggi SJ osservò che nemmeno l'Onnipotente può violare una legge fisica da Lui stabilita (essendo senza tempo mica può cambiare idea), fare un miracolo è solo il favorire un evento improbabile.
Figurati che scriverebbe a sentire un umano vuol rendere vero che 10 = 8.
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Secondo motivo, e più grave) La consegna (che tu hai solo guardato invece di leggerla parola per parola) non parla affatto dellA distanzA fra i punti F1 ed F2, ma dellE distanzE di un generico punto P(x, y, z) da ciascuno di essi.
L'iperboloide non c'entra, è citato solo en passant (fra parentesi e in corsivo) giusto per dare un nome al risultato dell'esercizio.
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2a) "Ho cercato l'equazione dell'iperboloide su Internet non avendola ancora studiata, è corretta?" GUARDA LA TAVOLA E DECIDI DA TE
http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica
Ma, se la consegna non ne parla e se tu non l'hai ancora studiata, che t'importa di sapere se sia corretta o no? Devi solo preoccuparti se il risultato atteso sia equivalente o no al tuo risultato e, se no, per quale motivo.
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2b) "Se si, ci sarebbe un modo per arrivarci (tipo una dimostrazione)?" CERTO CHE C'E': E' PROPRIO LO SVOLGIMENTO DI QUEST'ESERCIZIO.
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Penso d'aver risposto esaurientemente ad entrambe le tue domande.
Non avendo visto la richiesta esplicita di svolgere l'esercizio e non volendo annojarti con robacce non richieste, ma avendo il dubbio che ti possano essere utili, scelgo una via di mezzo e sarò sintetico nel mostrarti come procedere.
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A) Calcoli le distanze
* |PF1| = √((x + 5)^2 + y^2 + z^2)
* |PF2| = √((x - 5)^2 + y^2 + z^2)
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B) Imponi che sia otto la differenza fra le distanze
* ||PF1| - |PF2|| = 8 ≡
≡ |√((x + 5)^2 + y^2 + z^2) - √((x - 5)^2 + y^2 + z^2)| = 8
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C) Semplifichi l'equazione, con moduli e radici nella forma ottenuta, fino a ottenere una forma più umana
* |√((x + 5)^2 + y^2 + z^2) - √((x - 5)^2 + y^2 + z^2)| = 8 ≡
≡ z^2 = (9*x^2 - 16*y^2 - 144)/16 ≡
≡ 9*x^2/16 - y^2 - z^2 = 9 ≡
≡ x^2/16 - y^2/9 - z^2/9 = 1