Dimostra che $a=h^{2}-k^{2}, b=2 h k$ e $c=h^{2}+k^{2}$
costituiscono una terna pitagorica $\forall h, k \in \mathbb{R}$ con $k^{2}<h^{2}$. Determina poi la terna pitagorica corrispondente ai valori di $h$ e $k$, soluzioni dell'equazione $3 x^{2}+4 x+1=0$
(Suggerimento. Ricorda che $a, b$ e $c$ formano una terna pitagorica se vale l'uguaglianza $a^{2}+b^{2}=c^{2} .$
$$
\left[\frac{8}{9}, \frac{2}{3} ; \frac{10}{9}\right]
$$
14
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Livello 0
La prima parte è una semplice identità che si ha utilizzando il suggerimento dato dal libro e risolvendo i calcoli indicati nel suggerimento,come dimostrato nel primo foglio che ti ha mandato @alice_greco come risposta.
La seconda parte merita approfondita spiegazione:
Se x1=h x2=k sono soluzioni di x^2+(E/D)x+(F/D)=0 con D non nullo e con (E/D) e (F/D) non nulli Allora x1+x2=h+k=(E/D) x1*x2= hk = (F/D).Si nota che 2hk=[(h+k)^2 - (h-k)^2]/2 da cui (h-k)=√[(h+k)^2-4hk ]
Scrivo a=h^2-k^2=(h+k)(h-k) ; c=h^2+k^2=(h+k)^2-2hk ;b=2hk Adesso è facile calcolare la terna cercata perchè basta sostituire hk=(F/D) , h+k=(E/D) , h-k=√[(E/D)^2-4(F/D) ] all'interno di
a=(h+k)(h-k) ; b=2hk ; c=(h+k)^2-2hk . Prendo in esame l'equazione data 3x^2+4x+1=0 divido per il numero che sta vicino al termine x^2 tutti i termini dell'equazione data facendo diventare l'equazione x^2+(4/3)x+(1/3)=0 Quindi seguo il mio procedimento: E=4 F=1 D=3 , h+k=4/3 ,hk=1/3
Calcolo h-k=√[(E/D)^2-4(F/D) ]
h-k=√[16/9 - 4/3]=√[(16-12)/9]=2/3 Pertanto a=(4/3)*(2/3)=8/9 ; b=2(1/3)=2/3 ; c=16/9-2/3=10/9
La prima parte è una semplice identità che si ha utilizzando il suggerimento dato dal libro e risolvendo i calcoli indicati nel suggerimento,come dimostrato nel primo foglio che ti hanno mandato come risposta.
La seconda parte merita approfondita spiegazione:
Se x1=h x2=k sono soluzioni di x^2+(E/D)x+(F/D)=0 con D non nullo e con (E/D) e (F/D) non nulli Allora x1+x2=h+k=(E/D) x1*x2= hk = (F/D).Si nota che 2hk=[(h+k)^2 - (h-k)^2]/2 da cui (h-k)=√[(h+k)^2-4hk ]
Scrivo a=h^2-k^2=(h+k)(h-k) ; c=h^2+k^2=(h+k)^2-2hk ;b=2hk Adesso è facile calcolare la terna cercata perchè basta sostituire hk=(F/D) , h+k=(E/D) , h-k=√[(E/D)^2-4(F/D) ] all'interno di
a=(h+k)(h-k) ; b=2hk ; c=(h+k)^2-2hk . Prendo in esame l'equazione data 3x^2+4x+1=0 divido per il numero che sta vicino al termine x^2 tutti i termini dell'equazione data facendo diventare l'equazione x^2+(4/3)x+(1/3)=0 Quindi seguo il mio procedimento: E=4 F=1 D=3 , h+k=4/3 ,hk=1/3
Calcolo h-k=√[(E/D)^2-4(F/D) ]
h-k=√[16/9 - 4/3]=√[(16-12)/9]=2/3 Pertanto a=(4/3)*(2/3)=8/9 ; b=2(1/3)=2/3 ; c=16/9-2/3=10/9
146
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Livello 1
@davide_manghisi Avresti la cortesia di segnalarmi dove e come ho cazzeggiato? Se mi clicki una freccia in un giù un motivo devi averlo, penso; ma io non riesco a vederlo. Comunque, grazie d'averla annullata.
ho sbagliato solo a cliccare,perchè mi è scaduto il mouse!!
"ho sbagliato solo a cliccare" è un understatement piuttosto pesante.
Hai sbagliato anche in altri punti.
* "visto che non è banale" lo è eccome! Nella mia risposta sono bastati cinque passaggi più che semplici, banali.
* "merita approfondita spiegazione" GRAVE ERRORE! Le banalità non meritano nulla (qualcuno scrisse "Non ragioniam di lor, ma guarda e passa" [Inferno III, 51]).
* "(h^2−k^2)^2 + (2hk)^2=(h^2+k^2)^2 è un identità" che banalità! Già l'aveva scritto Euclide, ti pare una scoperta?
* Da "Sia Dx^2+Ex+F=0 ..." a "... x1*x2= hk = (F/D)" Maddavero, davero? Sei certo?
* ... e insomma, basta!
Tu sarai pure il capufficio dell'UCAS (Ufficio per la Complicazione degli Affari Semplici), ma io non ho alcuna ambizione di fare il Semplificatore gratis: se la Lucia Azzolina (brava e pure bella, beata lei!) mi vuole deve farmi un ricco contratto.
222
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Livello 1
@alice_greco grazie mille, gentilissima ❤️
@alice_greco Va bene solo il primo foglio;il secondo foglio merita maggiore spiegazione.Quindi è incompleto!!
Con
* u > v
* h = √u
* k = √v
si ha
* a = h^2 - k^2 = u - v
* b = 2*h*k = 2*√(u*v)
* c = h^2 + k^2 = u + v
da cui
* c^2 = a^2 + b^2 ≡
≡ (u + v)^2 = (u - v)^2 + (2*√(u*v))^2 ≡
≡ u^2 + 2*u*v + v^2 = u^2 - 2*u*v + v^2 + 4*u*v ≡
≡ 2*u*v = - 2*u*v + 4*u*v ≡
≡ 4*u*v = 4*u*v ≡
≡ VERO
QED
---------------
* 3*x^2 + 4*x + 1 = 0 ≡
≡ x^2 + (4/3)*x + 1/3 = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x + 1/3) = 0 ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = - 1/3)
---------------
* (h, k) = (- 1, - 1/3) → (u, v) = (1, 1/9)
da cui
* a = 1 - 1/9 = 8/9
* b = 2*√(1*1/9) = 6/9
* c = 1 + 1/9 = 10/9
* (6/9, 8/9, 10/9) = (2/9)*(3, 4, 5)
==============================
ATTENZIONE
Secondo la definizione di Euclide, che varrà pure qualcosa, h e k devono essere numeri naturali per essere autorizzati a dire "terna pitagorica".
52238
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Genius I
@Davide_Manghisi Grazie, la prossima volta farò attenzione. Buona serata
222
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Livello 1
