[Risolto] Esercizio geometria analitica n.20

La domanda è marcata "23/03/2023 21:07" e io la vedo il giorno successivo alle tredici; leggo sia un generico "Ringrazio anticipatamente chi vorrà fornirmi il suo aiuto." che uno specifico commento "Grazie per la tua chiara e SOLLECITA risposta" indirizzato @EidosM e mi viene un dubbio esistenziale: sarà di una qualsiasi utilità esibire anche il mio approccio allo svolgimento di un esercizio non difficile, ma nemmeno banale, oltre ai due ottimi svolgimenti dovuti @EidosM e @LucianoP ? Boh, non saprei: io comunque lo accodo alla lista e poi vedi tu.
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Esercizio 20
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Sono date due rette, ciascuna con un diverso coefficiente parametrico con parametri diversi
* r(a) ≡ a*x + 2*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - a*x)/2
* s(b) ≡ 3*x - b*y + 2 = 0 ≡ (b = 0) & (x = - 2/3) oppure (b != 0) & (y = (3*x + 2)/b)
e si chiede di determinare i due parametri (a, b) in modo da ottemperare a due consegne:
1) che r(a), s(b) e l'asse y formino fascio e non triangolo;
2) che r(a) ed s(b) risultino ortogonali.
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Risoluzione
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1) Deve risultare determinato il sistema delle tre rette
* (x = 0) & (a*x + 2*y - 1 = 0) & (3*x - b*y + 2 = 0) ≡ C(0, 1/2) & (b = 4)
da cui
* s(4) ≡ y = (3*x + 2)/4 di pendenza 3/4
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2) Deve risultare di pendenza - 4/3 la retta parametrica
* r(a) ≡ y = (1 - a*x)/2 di pendenza - a/2
quindi
* - a/2 = - 4/3 ≡ a = 8/3
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D0%2C8*x%2F3-1%3D-2*y%2C3*x-4*y%3D-2%5D

il coefficiente angolare é -A/B

per cui la condizione di perpendicolarità si scrive

- a/2 * (-3)/(-b) = -1

a/2 * 3/b = 1

3a = 2b

inoltre

se x = 0

2y - 1 = 0 e - by + 2 = 0

devono valere contemporaneamente

allora y = 1/2

- b/2 + 2 = 0

b/2 = 2

b = 4

a = 2/3*b = 2/3 * 4 = 8/3

Due rette date nella forma implicita:

ax+by+c=0 ed a'x+b'y+c'=0

sono perpendicolari fra loro se e solo se risulta: a*a'+b*b'=0

Quindi deve essere:

3·a - 2·b = 0-----> a = 2·b/3

Se si vuole che le due rette si intersichino sull'asse y, il sistema costituto da esse deve avere come soluzione comune x=0:

{2·b/3·x + 2·y - 1 = 0

{3·x - b·y + 2 = 0

quindi lo risolvi ed ottieni:

[x = 3·(b - 4)/(2·(b^2 + 9)) ∧ y = (4·b + 9)/(2·(b^2 + 9))]

quindi nella soluzione deve essere:

b-4=0----> b=4

e l'altro parametro a=8/3