Buona sera a tutti; vado a postare un problema di geometria analitica che non riesco a risolvere. Ecco il testo: dati i punti A(1;5), B(2;-2), C(-5;-3), dimostrare che esiste uno e un solo punto P sulla retta y = -1/2 x tale che PA^2 = PB^2 = PC^2. Calcolare le coordinate di tale punto e verificare che è anche il punto medio del segmento AC . Risposta P (-2;1). Grazie a chi vorrà rispondermi come fate ormai da tanto tempo.
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Livello 1
Ti dò delle indicazioni:
scrivi un sistema in cui calcoli i quadrati delle distanze con
P(x,-1/2*x) dai 3 punti noti.
Ciao grazie per il suggerimento; ci proverò, poi se non ci riuscirò, ti contatterò nuovamente.
Ciao ci sono riuscito, ma non per merito mio, bensì grazie a un utente che mi ha risposto esponendo anche la parte algebrica. Non ci sarei mai arrivato. Ti ringrazio ancora e ti auguro una buona serata.
L'unico punto P(x, y) del piano Oxy tale che i quadrati delle sue distanze da tre punti non allineati siano eguali è il circumcentro del loro triangolo ABC (per la definizione di circonferenza). Quest'esercizio chiede di verificare:
1) che P cada su una retta data;
2) che il triangolo ABC sia rettangolo in B (circumcentro a metà ipotenusa).
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A LIVELLO ALGEBRICO COME IMPOSTARE IL TUTTO
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1) che P cada su una retta data.
La retta y = - x/2 ha come punto cursore P(k, - k/2).
I quadrati delle distanze di P da A(1, 5), B(2, - 2), C(- 5, - 3) sono
* |PA|^2 = (5*k^2 + 12*k + 104)/4
* |PB|^2 = (5*k^2 - 24*k + 32)/4
* |PC|^2 = (5*k^2 + 28*k + 136)/4
e si deve verificare che siano eguali
* (5*k^2 + 12*k + 104)/4 = (5*k^2 - 24*k + 32)/4 = (5*k^2 + 28*k + 136)/4 ≡
≡ 12*k + 104 = - 24*k + 32 = 28*k + 136 ≡
≡ 3*k + 26 = - 6*k + 8 = 7*k + 34 ≡
≡ k = - 2
da cui
* P(- 2, 1)
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2) che il triangolo ABC sia rettangolo in B (circumcentro a metà ipotenusa).
* M = (A + C)/2 = ((1, 5) + (- 5, - 3))/2 = (- 2, 1) = P
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Genius I
Ciao grazie sei stato veramente d'aiuto; avevo difficoltà ad eseguire l'uguaglianza delle 3 distanze. Algebricamente non mi sono mai trovato a dover risolvere un'equazione di questo tipo. Le mie conoscenze si limitano alla classica equazione di I/II/ biquadratica ecc... ma sempre e solo con 2 membri; in questo caso me ne trovavo 3 e non sapevo come procedere. Ancora grazie e buona serata
Il raggio vettore passante per il punto medio della corda risulta essere ad essa perpendicolare.
Quindi il centro della circonferenza è C(-2;1)
Punto medio di AC = [(xA+xC)/2;(yA+yC)/2] = (-4/2;2/2) = (-2;1)
Ciao @Beppe ,
Anche se già risolto....
Buona giornata.
Stefano
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Genius II
Ciao grazie per la tua risposta che comunque mi ha dato la possibilità di leggere un altro modo per risolvere il problema. Ti auguro una buona giornata.
Ciao @beppe
vedi un po’ la seguente figura:
P è il centro di una circonferenza ed è equidistante dai vertici A,B,C.
Per il calcolo di P devi scrivere a sistema:
{(x - 1)^2 + (- 1/2·x - 5)^2 = (x - 2)^2 + (- 1/2·x + 2)^2
{(x - 1)^2 + (- 1/2·x - 5)^2 = (x + 5)^2 + (- 1/2·x + 3)^2
che equivale a scrivere: PA^2=PB^2=PC^2
che porta a
{(5·x^2 + 12·x + 104)/4 = (5·x^2 - 24·x + 32)/4
{(5·x^2 + 12·x + 104)/4 = (5·x^2 + 28·x + 136)/4
In cui, ognuna delle due fornisce come soluzione: x = -2
e quindi le coordinate di P(-2,1)
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Genius II
Ciao ho guardato attentamente la figura da dove ho verificato che le coordinate del punto P sono (-2;1), che P è il punto medio del segmento AC e che le distanze di AP,BP,CP sono identiche. Però a livello algebrico non saprei come impostare il tutto. Se puoi e hai tempo, mi faresti un favore. Grazie ancora e buona serata.
