Il triangolo ABC della figura è equilatero e O è l’incentro. Trova perimetro e area di ABC.
Il triangolo ABC della figura è equilatero e O è l’incentro. Trova perimetro e area di ABC.
L'incentro di un poligono convesso, se esiste, è l'unico punto del piano equidistante da tutti i lati. Nei triangoli non degeneri esiste in ogni caso.
Nel triangolo equilatero ABC di lato L l'incentro O coincide col baricentro G e le altezze coincidono con le mediane; pertanto O dista dai lati l'inraggio r (per definizione) e dai vertici il circumraggio R = 2*r (per il teorema della mediana); quindi si ha
* h = (√3/2)*L = r + R = r + 2*r = 3*r
da cui
* L = (2*√3)*r
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Se il testo recita "e O è l'incentro" si può presumere che, oltre all'equilateralità, l'altro dato sia proprio la misura dell'inraggio e che quindi la richiesta sia quella di esprimere perimetro e area di un triangolo equilatero in funzione dell'inraggio.
* perimetro p = 3*L = (6*√3)*r
* area S = L*h/2 = (3*√3)*r^2
Quali sono i dati conosciuti ?
Può essere utile ricordare le seguenti proprietà :
1) in un triangolo equilatero incentro - ortocentro - baricentro - circocentro coincidono.
2) P = 3L
3) S = rad(3)/4 L^2
Però potresti mettere la figura. Un piccolo sforzo. Incentro, ortocentro, baricentro coincidono. Nella figura il triangolo è circoscritto? Hai il raggio del cerchio?
Gli angoli misurano 60°; i lati L sono congruenti.
h^2 = L^2 - (L/2)^2 = 3/4 L^2;
h = radice(3) * L/2
Perimetro = 3 * L;
Area = L * [radice(3) * L/2] / 2;
Area = L^2 * radice(3) /4.