La funzione f(x)= 2x^3 -4x*e^(-x^2) rappresenta in opportune unità di misure la forza f(x) a cui è soggetto un punto punto P che si muove lungo l' asse delle ascisse.
Sapendo che la forza F è data da f(x) che è uguale a -du/dx con ux funzione potenziale, determinarla e disegnare il grafico sapendo che a zero è uguale a -1. Per quali valori di x il punto P è in equilibrio?
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Livello 0
Ti risolvo il problema sino alla determinazione della funzione potenziale U=U(x).
Per il grafico bisognerebbe fare uno studio completo. Quindi rinvio tale parte a qualche altra "anima pia" che te la svolga. Il grafico comunque è in allegato.
Partiamo dalla funzione f(x)----->y = 2·x^3 - 4·x·e^(- x^2)
Per integrazione si ottiene:
2·e^(- x^2) + x^4/2 (a meno di una costante di integrazione)
Per quanto riguarda il 2° addendo penso non ci siano problemi.
Per il 1° bisogna osservare che: - 4·x·e^(- x^2) = d·(2·e^(- x^2))/(dx)
Con le condizioni iniziali determiniamo la costante C che era rimasta in sospeso:
2·e^(- x^2) + x^4/2 + c --->x=0
2·e^(- 0^2) + 0^4/2 + c = -1 ---->c + 2 = -1--->c = -3
quindi:
u(x)=2·e^(- x^2) + x^4/2 - 3
Il grafico è allegato sotto. si osservi che la funzione è pari e l’equilibrio si ha per x=-1 ed x=1 per cui è minima la funzione potenziale. Ciao.
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Genius II
@lucianoP Grazie mille, gentilissimo!
Figurati,di niente. Quando posso unisco l’utile al dilettevole: mantengo il cervello in allenamento, mi diverto e nel contempo se posso, ho voglia e tempo, aiuto qualcuno. Dimmi se è poco! Ciao.
